Какова высота треугольника, если его периметр составляет 36 см и он делится высотой на два треугольника с периметрами

Обозначим высоту треугольника как \(h\).
Дано, что периметр треугольника составляет 36 см. Периметр треугольника равен сумме длин его трех сторон, поэтому для данного треугольника длины его сторон равны \(\frac{36}{3} = 12\) см каждая.

Теперь рассмотрим деление треугольника высотой на два отдельных треугольника.
Первый треугольник имеет периметр 18 см. Поделим этот периметр так же, как и длины сторон изначального треугольника: \(\frac{18}{3} = 6\). Таким образом, стороны первого треугольника равны 6 см каждая.

Второй треугольник является отражением первого треугольника, поэтому его стороны также равны 6 см каждая.

Теперь рассмотрим высоту обоих треугольников. Поскольку оба треугольника разделены высотой, мы можем сказать, что высота их суммарно составляет высоту исходного треугольника. Обозначим высоту каждого из двух треугольников как \(h_1\) и \(h_2\).

Таким образом, мы получаем \(\frac{h_1 + h_2}{2} = h\).

Мы знаем, что у каждого из двух треугольников периметр составляет 18 см, поэтому длины их сторон также равны 6 см каждая.

Для треугольника с длиной стороны 6 см и высотой \(h_1\) мы можем использовать формулу площади треугольника: площадь треугольника равна половине произведения длины его основания (стороны, к которой проведена высота) на высоту.

Таким образом, \(\frac{6h_1}{2} = \frac{6h_1}{2}\).

Аналогично, для второго треугольника с длиной стороны 6 см и высотой \(h_2\) мы имеем \(\frac{6h_2}{2} = \frac{6h_2}{2}\).

Теперь мы можем объединить все это вместе и решить уравнение.

\(\frac{h_1 + h_2}{2} = h\)

Заменим \(h_1\) и \(h_2\) на выражения с использованием площади треугольника:
\(\frac{\frac{6h_1}{2} + \frac{6h_2}{2}}{2} = h\)

Упрощаем:
\(\frac{6h_1 + 6h_2}{4} = h\)

Перемножим обе стороны уравнения на 4:
\(6h_1 + 6h_2 = 4h\)

Теперь можем использовать информацию о периметрах двух треугольников:
\(6 + 6 + h_1 = 18\)
\(6 + 6 + h_2 = 18\)

Упростим эти уравнения:
\(12 + h_1 = 18\)
\(12 + h_2 = 18\)

Решаем уравнения:
\(h_1 = 6\)
\(h_2 = 6\)

Теперь подставим значения \(h_1\) и \(h_2\) в уравнение: \(6 \cdot 6 + 6 \cdot 6 = 4h\)

Упрощаем:
\(36 + 36 = 4h\)
\(72 = 4h\)

Делим обе стороны на 4:
\(h = 18\)

Таким образом, высота треугольника составляет 18 см.