Что значит найти значение производной функции f(x) = 5x*cosx + 2 в точке x0

Конечно! Давайте начнем с нахождения значения производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{2}\).

Для нахождения производной функции, нам потребуется применить правило дифференцирования для суммы, а также правило дифференцирования для произведения.

Сначала найдем производную слагаемого \(5x\). По правилу дифференцирования для произведения, производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию, плюс произведение первой функции на производную второй функции. В данном случае, первая функция это константа \(5\), а вторая функция это сама переменная \(x\).

Таким образом, производная слагаемого \(5x\) равна:
\[\frac{d}{dx}(5x) = 5 \cdot \frac{d}{dx}(x) = 5 \cdot 1 = 5.\]

Затем, найдем производную слагаемого \(\cos(x)\). Возьмем во внимание, что производная косинуса равна минус синусу. То есть,
\[\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x).\]

Теперь, собираем все вместе. Производная функции \(f(x)\) будет равна сумме производных каждого слагаемого. То есть,
\[\frac{d}{dx}(5x\cos(x) + 2) = 5 \cdot \cos(x) + (5x) \cdot (-\sin(x)).\]

Теперь подставим значение \(x_0 = \frac{\pi}{2}\) в полученное выражение для нахождения значения производной в этой точке.

\[\frac{d}{dx}(5x\cos(x) + 2)\Bigg|_{x = \frac{\pi}{2}} = 5 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \left(5 \cdot \frac{\pi}{2}\right) \cdot (-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)).\]

Мы знаем, что \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\) и \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\), поэтому подставим эти значения:

\[\frac{d}{dx}(5x\cos(x) + 2)\Bigg|_{x = \frac{\pi}{2}} = 5 \cdot 0 + \left(5 \cdot \frac{\pi}{2}\right) \cdot (-1).\]

Упростим это выражение:

\[\frac{d}{dx}(5x\cos(x) + 2)\Bigg|_{x = \frac{\pi}{2}} = -\frac{5\pi}{2}.\]

Таким образом, значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{2}\) равно \(-\frac{5\pi}{2}\).