Что такое скалярное произведение векторов a и b, если они заданы как a=3*u-4*n и b=4*u+4*n?

Скалярное произведение векторов a и b может быть рассчитано с помощью следующей формулы:

\[ a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta) \]

где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, а \(\theta\) - угол между векторами a и b.

Для данной задачи, мы можем выразить векторы a и b в виде их координатных столбцов или комбинаций базисных векторов u и n.

Исходные векторы даны следующим образом: a = 3u - 4n и b = 4u + 4n.

Теперь нужно рассчитать длины векторов a и b. Длина вектора вычисляется по формуле:

\[ |a| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\]

где \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\) - координаты вектора a.

Рассчитаем длину вектора a:
\[ |a| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}\]
\[ |a| = \sqrt{9 + 16}\]
\[ |a| = \sqrt{25}\]
\[ |a| = 5\]

Точно так же рассчитаем длину вектора b:
\[ |b| = \sqrt{(4)^2 + (4)^2}\]
\[ |b| = \sqrt{16 + 16}\]
\[ |b| = \sqrt{32}\]
\[ |b| = 4\sqrt{2}\]

Теперь нам нужно вычислить значение косинуса угла \(\theta\) между векторами a и b. Для этого мы можем использовать формулу, данных нам ранее:

\[ a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta) \]

Если мы решим уравнение относительно \(\cos(\theta)\), то получим:

\[ \cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} \]

Теперь подставим значения, чтобы получить ответ:

\[ \cos(\theta) = \frac{(3 \cdot 4) + (-4 \cdot 4)}{5 \cdot 4\sqrt{2}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{12 - 16}{20\sqrt{2}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{-4}{20\sqrt{2}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{-1}{5\sqrt{2}} \]

Итак, скалярное произведение векторов a и b равно \(\frac{-1}{5\sqrt{2}}\).