Что такое объем треугольной пирамиды ABCD, если ребра AB, AC и AD взаимно перпендикулярны и равны 4, 12

Чтобы найти объем треугольной пирамиды ABCD, нам понадобится использовать формулу для нахождения объема пирамиды. Формула такова:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h,\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

В нашем случае пирамида является треугольной, поэтому нам нужно найти площадь треугольника и высоту пирамиды.

1. Найдем площадь треугольника ABC, которая будет являться основанием пирамиды. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника:

\[S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона AB} \cdot \text{сторона AC} \cdot \sin(\angle BAC).\]

У нас известны стороны треугольника AB и AC, которые равны 4 и 12 соответственно. Осталось найти значение угла BAC.

Так как ребра AB, AC и AD взаимно перпендикулярны, это означает, что угол BAC является прямым углом. В прямоугольном треугольнике ABC против угла BAC находится сторона AC, а против угла ABC находится сторона AB. Используя теорему Пифагора, мы можем найти третью сторону треугольника BC:

\[BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{12^2 - 4^2} = \sqrt{144 - 16} = \sqrt{128}.\]

Теперь мы можем найти синус угла BAC:

\[\sin(\angle BAC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{4}{\sqrt{128}}.\]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна:

\[S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 \cdot \frac{4}{\sqrt{128}} = \frac{24}{\sqrt{8}} = \frac{12}{\sqrt{2}}.\]

2. Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, нам нужно найти перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды (то есть точки D) на основание ABC. Эта высота будет равна стороне AD.

Мы знаем, что сторона AD равна 1.

3. Наконец, используя найденные значения площади основания и высоты пирамиды, мы можем найти объем пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{\sqrt{2}} \cdot 1 = \frac{12}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}.\]

Таким образом, объем треугольной пирамиды ABCD равен \(4\sqrt{2}\).