Что такое логарифмический декремент затухания для небольшого тела, подвешенного на длинной нерастяжимой и невесомой

Логарифмический декремент затухания (ЛДЗ) для небольшого тела, подвешенного на длинной нерастяжимой и невесомой нити, может быть определен по следующей формуле:

\[\delta = \frac{1}{n} \cdot \ln \left(\frac{x_i}{x_{i+n}}\right)\]

где \(\delta\) - логарифмический декремент затухания,
\(n\) - количество периодов, в течение которых проводится измерение амплитуды колебаний,
\(x_i\) - амплитуда колебаний в момент времени \(t_i\),
\(x_{i+n}\) - амплитуда колебаний в момент времени \(t_{i+n}\).

Для данной задачи, у нас известны следующие данные:
\(\angle A = 0,03\) радиан,
\(l = 10\) см (\(l = 0,1\) м),
\(b = 3\) с\(^{-1}\),
\(g = 10\) м/с\(^2\).

Сначала, давайте определим период колебаний этого тела. Для небольших углов, период колебаний связан с длиной нити следующим образом:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\]

Подставляя известные значения, получим:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{0,1}{10}} = 0,628 \, \text{сек}\]

Расстояние между последовательными моментами времени, когда измеряется амплитуда колебаний, можно определить как \(T/n\). В этой задаче, пусть измеряется амплитуда каждые 0,157 секунды (\(n = 4\)).

Теперь, для вычисления ЛДЗ, нам нужно знать амплитуды колебаний в разные моменты времени. Поскольку амплитуда испытывает затухание, она будет иметь следующее выражение:

\[x(t) = A \cdot e^{-bt}\]

где \(x(t)\) - амплитуда колебаний в любой момент времени \(t\),
\(A\) - начальная амплитуда колебаний,
\(b\) - коэффициент затухания,
\(t\) - время.

В нашем случае \(A = x_0\), где \(x_0\) - амплитуда колебаний в момент времени \(t = 0\).

Так как мы знаем, что угол \(A = 0,03\) радиан в начальный момент времени (\(t = 0\)), амплитуда колебаний можно выразить через этот угол:

\[A = l \cdot \angle A = 0,1 \cdot 0,03 = 0,003 \, \text{м}\]

Теперь давайте найдем значения амплитуды колебаний в разные моменты времени с помощью уравнения \(x(t) = A \cdot e^{-bt}\).

Подставляя известные значения, получим:

\[x(t) = 0,003 \cdot e^{-3t}\]

Теперь, используя выражение для ЛДЗ, мы можем вычислить \(\delta\):

\[\delta = \frac{1}{n} \cdot \ln \left(\frac{x_0}{x_n}\right)\]

Подставляя известные значения, получим:

\[\delta = \frac{1}{4} \cdot \ln \left(\frac{0,003}{0,003 \cdot e^{-3 \cdot 0,157}}\right) = \frac{1}{4} \cdot \ln \left(\frac{1}{e^{-0,471}}\right) = \frac{1}{4} \cdot \ln(e^{0,471}) = \frac{0,471}{4} = 0,11775\]

Таким образом, логарифмический декремент затухания для этого колебательного движения составляет примерно 0,11775.