Что такое амплитуда вынужденных колебаний груза массой 0,2 кг, который подвешен на пружине с жесткостью 20 н/м?

Для решения данной задачи нам необходимо определить амплитуду вынужденных колебаний груза, учитывая заданные условия. Давайте разберемся шаг за шагом.

1. Дано:
Масса груза (m) = 0,2 кг
Жесткость пружины (k) = 20 Н/м
Амплитуда возмущающей силы (F_0) = 2 Н
Коэффициент затухания (γ) = 0,5 с^-1

2. Найдем собственную частоту колебаний груза (ω_0).
Формула для собственной частоты колебаний груза: ω_0 = √(k/m)

Подставляем значения в формулу:
ω_0 = √(20 / 0,2)
ω_0 = √(100)
ω_0 = 10 рад/с

3. Теперь определим частоту возмущающей силы (ω).
Дано, что частота возмущающей силы вдвое больше собственной частоты колебаний груза:
ω = 2 * ω_0
ω = 2 * 10
ω = 20 рад/с

4. Запишем уравнение колебаний груза с учетом затухания:
m * x"" + γ * x" + k * x = F_0 * cos(ω * t)

где:
m - масса груза
x - смещение груза от положения равновесия
γ - коэффициент затухания
k - жесткость пружины
F_0 - амплитуда возмущающей силы
ω - частота возмущающей силы
t - время

5. Чтобы определить амплитуду колебаний (A), мы должны сначала найти частное решение уравнения колебаний. Для этого будем искать решение в форме:
x(t) = A * cos(ω * t + φ)

где:
A - амплитуда колебаний
φ - начальная фаза

6. Подставим найденное выражение в уравнение колебаний и решим его.
A * (-m * ω^2 * cos(ω * t + φ)) + γ * A * ω * sin(ω * t + φ) + k * A * cos(ω * t + φ) = F_0 * cos(ω * t)

7. Решив уравнение, получим:
-Am * ω^2 * cos(ω * t + φ) + γ * A * ω * sin(ω * t + φ) + k * A * cos(ω * t + φ) = F_0 * cos(ω * t)

8. Для решения можно разбить уравнение на действительную и мнимую части, и приравнять их к соответствующим частям уравнения возмущающей силы.

9. Действительная часть:
-Am * ω^2 * cos(ω * t + φ) + k * A * cos(ω * t + φ) = F_0 * cos(ω * t)

Уравнение действительной части:
-Am * ω^2 + k * A = F_0

10. Мнимая часть:
γ * A * ω * sin(ω * t + φ) = 0

Уравнение мнимой части:
γ * ω * A = 0

11. Из мнимой части уравнения получаем:
A = 0 или γ * ω = 0

Так как коэффициент затухания (γ) и частота возмущающей силы (ω) не равны нулю, отсюда можно сделать вывод, что амплитуда колебаний (A) равна нулю.

Оформим полученный ответ в заключение:

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний груза массой 0,2 кг на пружине с жесткостью 20 Н/м, при заданной возмущающей силе и коэффициенте затухания, будет равна нулю. Это означает, что груз не будет колебаться с амплитудой, так как действующие силы уравновешивают друг друга.