Что следует учесть при определении области определения и множества значений квадратичной функции f (x) = - x² + 4x

Чтобы определить область определения и множество значений квадратичной функции \( f(x) = -x^2 + 4x \), нужно рассмотреть два аспекта: область возможных значений для переменной \( x \) и соответствующие значения функции \( f(x) \).

1. Область определения (Domain):
Область определения - это множество значений переменной \( x \), для которых функция \( f(x) \) определена и имеет смысл. В данном случае, квадратичная функция \( f(x) = -x^2 + 4x \) является полиномиальной функцией и определена для любого значения \( x \) вещественного числа. Таким образом, область определения \( f(x) \) является множеством всех вещественных чисел: \( x \in \mathbb{R} \).

2. Множество значений (Range):
Множество значений функции \( f(x) \) - это множество всех значений, которые функция может принимать при изменении переменной \( x \). Чтобы определить множество значений, можно применить несколько методов, таких как нахождение вершины параболы, анализ дискриминанта и другие. Давайте воспользуемся вершиной параболы для определения множества значений.

Вершина параболы может быть найдена с помощью формулы \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a \), \( b \), и \( c \) в уравнении \( ax^2 + bx + c \) являются коэффициентами квадратичной функции. В нашем случае, у квадратичной функции \( f(x) = -x^2 + 4x \) коэффициенты равны: \( a = -1 \), \( b = 4 \), и \( c = 0 \).

Подставим эти значения в формулу и найдем значение \( x \) для вершины параболы:
\[
x = -\frac{4}{2(-1)} = -\frac{4}{-2} = 2
\]
Теперь, чтобы найти значение функции \( f(x) \) в точке \( x = 2 \), подставим это значение в исходную функцию:
\[
f(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4
\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (2, 4) \).

Поскольку коэффициент перед квадратом отрицательный (\( a = -1 \)), парабола открывается вниз. Это означает, что значение функции \( f(x) \) будет максимальным при \( x = 2 \), и этот максимум равен 4 (значение функции в вершине параболы).

Таким образом, множество значений функции \( f(x) \) является множеством всех чисел, которые меньше или равны 4: \( f(x) \leq 4 \) или в математической записи: \( f(x) \in (-\infty, 4] \).

В итоге, область определения функции \( f(x) = -x^2 + 4x \) определена для всех вещественных чисел \( x \) и множество значений - это все числа, которые меньше или равны 4.