Что представляет собой четырехугольник ABCD, если OA + OB = OD + OC? Какие векторы DA и BC выражены через векторы

Данная задача требует обоснованного решения. Для начала, нам необходимо разобраться, что представляет собой четырехугольник ABCD, если выполнено условие \(OA + OB = OD + OC\).

Рассмотрим данное условие более подробно. По определению векторов, \(OA\) может быть записано как \(\vec{OA}\), и аналогично для других векторов. Также, согласно аксиоме о равенстве векторов, если векторы равны, то их координаты равны.

Теперь, применяя аксиому о равенстве векторов, можно записать:

\(\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OD} + \vec{OC}\)

Так как мы знаем, что вектор \(\vec{AB}\) может быть записан как \(\vec{OB} - \vec{OA}\), а вектор \(\vec{CD}\) как \(\vec{OC} - \vec{OD}\), то наше равенство может быть переписано как:

\(\vec{AB} = \vec{CD}\)

Таким образом, получаем, что сторона \(\vec{AB}\) четырехугольника ABCD равна стороне \(\vec{CD}\), что говорит о том, что данная фигура является параллелограммом.

Перейдем к второй части задачи: выражению векторов \(\vec{DA}\) и \(\vec{BC}\) через векторы \(\vec{A} = \vec{DM}\) и \(\vec{B} = \vec{AM}\).

Для начала, заметим, что точка \(M\) не представлена на рисунке. Однако, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма, чтобы выразить векторы \(\vec{DA}\) и \(\vec{BC}\).

Согласно свойству параллелограмма, диагонали делятся пополам. Таким образом, можно записать, что вектор \(\vec{DM}\) равен полусумме векторов \(\vec{DA}\) и \(\vec{AC}\):

\(\vec{DM} = \frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{AC})\)

Можно подставить данное выражение для вектора \(\vec{AC}\):

\(\vec{DM} = \frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BC})\)

Теперь, перенеся вектор \(\vec{DM}\) влево и поменяв порядок слагаемых, получим:

\(\frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BC}) - \vec{DM} = 0\)

Сокращая общий множитель в скобках, имеем:

\(\vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BC} - 2\vec{DM} = 0\)

Так как известно, что \(\vec{AB} = \vec{CD}\), а также, используя определение вектора \(\vec{DM}\) через векторы \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\), можем далее переписать:

\(\vec{DA} + \vec{CD} + \vec{BC} - 2\vec{A} - 2\vec{B} = 0\)

Сгруппируем векторы по типу:

\(\vec{DA} - 2\vec{A} + \vec{CD} + \vec{BC} - 2\vec{B} = 0\)

Таким образом, получаем:

\(\vec{DA} - 2\vec{A} = -(\vec{CD} + \vec{BC} - 2\vec{B})\)

Наконец, вынося минус за скобки и сгруппировав векторы справа, получаем:

\(\vec{DA} = -\vec{CD} - \vec{BC} + 2\vec{B} - 2\vec{A}\)

Итак, выражение вектора \(\vec{DA}\) через векторы \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) записывается как:

\(\vec{DA} = -\vec{CD} - \vec{BC} + 2\vec{B} - 2\vec{A}\)

Теперь, для выражения вектора \(\vec{BC}\) через векторы \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\), воспользуемся определением вектора \(\vec{CD}\) через векторы \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\):

\(\vec{CD} = \vec{A} + \vec{B}\)

Подставляем данное выражение в полученное ранее выражение для вектора \(\vec{DA}\):

\(\vec{DA} = -(\vec{A} + \vec{B}) - \vec{BC} + 2\vec{B} - 2\vec{A}\)

Далее, выполняем операции:

\(\vec{DA} = -\vec{A} - \vec{B} - \vec{BC} + 2\vec{B} - 2\vec{A}\)

Сгруппируем векторы по типу:

\(\vec{DA} = -3\vec{A} + \vec{B} - \vec{BC}\)

Таким образом, выражение вектора \(\vec{DA}\) через векторы \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) записывается как:

\(\vec{DA} = -3\vec{A} + \vec{B} - \vec{BC}\)

Выберем правильный вариант ответа из предложенных:

(a) \(\vec{DA} = \vec{A} - \vec{B}\)

(b) \(\vec{DA} = \vec{A} + \vec{B}\)

(c) \(\vec{DA} = -\vec{A} - \vec{B}\)

(d) \(\vec{DA} = -\vec{A} + \vec{B}\)

(e) \(\vec{BC} = \vec{A} - \vec{B}\)

(f) \(\vec{BC} = \vec{A} + \vec{B}\)

(g) \(\vec{BC} = -\vec{A} - \vec{B}\)

(h) \(\vec{BC} = -\vec{A}\)

Правильным вариантом ответа будет: (c) \(\vec{DA} = -\vec{A} - \vec{B}\), (e) \(\vec{BC} = \vec{A} - \vec{B}\).

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять данный материал. Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь вам!