Что представляет собой четырехугольник ABCD, если OA + OB = OD + OC? Какие векторы DA и BC выражены через векторы

Данная задача требует обоснованного решения. Для начала, нам необходимо разобраться, что представляет собой четырехугольник ABCD, если выполнено условие $OA+OB=OD+OC$.

Рассмотрим данное условие более подробно. По определению векторов, $OA$ может быть записано как $\overrightarrow{OA}$, и аналогично для других векторов. Также, согласно аксиоме о равенстве векторов, если векторы равны, то их координаты равны.

Теперь, применяя аксиому о равенстве векторов, можно записать:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}$

Так как мы знаем, что вектор $\overrightarrow{AB}$ может быть записан как $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$, а вектор $\overrightarrow{CD}$ как $\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$, то наше равенство может быть переписано как:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$

Таким образом, получаем, что сторона $\overrightarrow{AB}$ четырехугольника ABCD равна стороне $\overrightarrow{CD}$, что говорит о том, что данная фигура является параллелограммом.

Перейдем к второй части задачи: выражению векторов $\overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{BC}$ через векторы $\overrightarrow{A}=\overrightarrow{DM}$ и $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{AM}$.

Для начала, заметим, что точка $M$ не представлена на рисунке. Однако, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма, чтобы выразить векторы $\overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{BC}$.

Согласно свойству параллелограмма, диагонали делятся пополам. Таким образом, можно записать, что вектор $\overrightarrow{DM}$ равен полусумме векторов $\overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{AC}$:

$\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC})$

Можно подставить данное выражение для вектора $\overrightarrow{AC}$:

$\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})$

Теперь, перенеся вектор $\overrightarrow{DM}$ влево и поменяв порядок слагаемых, получим:

$\frac{1}{2}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})-\overrightarrow{DM}=0$

Сокращая общий множитель в скобках, имеем:

$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DM}=0$

Так как известно, что $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, а также, используя определение вектора $\overrightarrow{DM}$ через векторы $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{B}$, можем далее переписать:

$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{A}-2\overrightarrow{B}=0$

Сгруппируем векторы по типу:

$\overrightarrow{DA}-2\overrightarrow{A}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{B}=0$

Таким образом, получаем:

$\overrightarrow{DA}-2\overrightarrow{A}=-(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{B})$

Наконец, вынося минус за скобки и сгруппировав векторы справа, получаем:

$\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{B}-2\overrightarrow{A}$

Итак, выражение вектора $\overrightarrow{DA}$ через векторы $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{B}$ записывается как:

$\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{B}-2\overrightarrow{A}$

Теперь, для выражения вектора $\overrightarrow{BC}$ через векторы $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{B}$, воспользуемся определением вектора $\overrightarrow{CD}$ через векторы $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{B}$:

$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$

Подставляем данное выражение в полученное ранее выражение для вектора $\overrightarrow{DA}$:

$\overrightarrow{DA}=-(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})-\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{B}-2\overrightarrow{A}$

Далее, выполняем операции:

$\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}-\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{B}-2\overrightarrow{A}$

Сгруппируем векторы по типу:

$\overrightarrow{DA}=-3\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}-\overrightarrow{BC}$

Таким образом, выражение вектора $\overrightarrow{DA}$ через векторы $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{B}$ записывается как:

$\overrightarrow{DA}=-3\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}-\overrightarrow{BC}$

Выберем правильный вариант ответа из предложенных:

(a) $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$

(b) $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$

(c) $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$

(d) $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$

(e) $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$

(f) $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$

(g) $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$

(h) $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{A}$

Правильным вариантом ответа будет: (c) $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$, (e) $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$.

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять данный материал. Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь вам!