Необходимо доказать, что взаимно перпендикулярны диагонали четырехугольника, у которого две соседние стороны равны

Чтобы доказать, что диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, нам нужно воспользоваться свойствами параллелограмма.

Из условия задачи известно, что две соседние стороны четырехугольника равны, а два противоположных угла являются прямыми. Обозначим вершины четырехугольника как A, B, C и D, причем стороны AB и CD равны, а углы C и D прямые.

Также введем точку E, в которой диагонали AC и BD пересекаются. Нам нужно доказать, что AC и BD перпендикулярны.

Используем свойство параллелограмма, что диагонали делятся пополам:

\[AE = CE\]
\[BE = DE\]

Также из условия задачи известно, что стороны AB и CD равны, что означает:

\[AB = CD\]

Мы можем представить эти равенства в виде системы уравнений:

\[
\begin{cases}
AB = CD \\
AE = CE \\
BE = DE \\
\end{cases}
\]

Теперь докажем, что AC и BD перпендикулярны. Для этого воспользуемся критерием перпендикулярности двух прямых, согласно которому две прямые перпендикулярны, если их направляющие векторы образуют прямой угол.

Прямая AD задается вектором \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED}\).

Прямая BC задается вектором \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{EC}\).

Направляющими векторами прямых AD и BC являются \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) соответственно.

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:

\(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED}) \cdot (\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{EC})\)

Раскроем скобки и воспользуемся свойствами скалярного произведения:

\(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} \cdot \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{ED} \cdot \overrightarrow{EC}\)

Учитывая, что \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{ED}\) равны по построению, а также что \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{BE}\), \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{EC}\), \(\overrightarrow{ED}\) и \(\overrightarrow{BE}\), \(\overrightarrow{ED}\) и \(\overrightarrow{EC}\) являются противоположными векторами, получаем:

\(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EC} - \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BE} - \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EC} = 0\)

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) равно нулю, что означает, что эти векторы перпендикулярны.

Следовательно, диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Доказательство завершено.