Найти решение для неравенства: логарифм по основанию 2 от (4x^2-1) минус логарифм по основанию 2 от x меньше или равно

Чтобы решить данное неравенство, мы можем воспользоваться свойствами логарифмов и применить их поочередно. Давайте разберемся шаг за шагом.

Итак, у нас дано неравенство:
\(\log_2(4x^2-1) - \log_2(x) \leq \log_2\left(\frac{5x+9}{x-11}\right)\)

Для начала, воспользуемся свойством логарифма, которое гласит: \(\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)\). Применим его к данному выражению:

\(\log_2\left(\frac{4x^2-1}{x}\right) \leq \log_2\left(\frac{5x+9}{x-11}\right)\)

Теперь, используя еще одно свойство логарифмов, а именно \(\log_a(b) \leq \log_a(c)\) тогда и только тогда, когда \(b \leq c\), мы можем сопоставить неравенство внутри логарифмов:

\(\frac{4x^2-1}{x} \leq \frac{5x+9}{x-11}\)

Для решения этой неравенства, мы можем разделить обе стороны на общий знаменатель \(x(x-11)\):

\((4x^2-1)(x-11) \leq (5x+9)x\)

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\(4x^3 - 44x^2 - x + 11 \leq 5x^2 + 9x\)

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство:

\(4x^3 - 49x^2 - 10x + 11 \leq 0\)

Для решения этого неравенства, можно использовать график функции или другие методы, но в данном случае нам будет достаточно определить интервалы, на которых данное неравенство выполнено. Чтобы это сделать, мы можем использовать метод интервалов знакопостоянства.

Разделим область определения функции \(f(x) = 4x^3 - 49x^2 - 10x + 11\) на интервалы, где значение функции либо положительно, либо отрицательно.

Прежде всего, найдем значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\):

\(4x^3 - 49x^2 - 10x + 11 = 0\)

Это уравнение третьей степени, и чтобы найти его корни, можем воспользоваться графиками или численными методами. После нахождения корней, мы можем разбить область определения на интервалы, основываясь на знаках функции \(f(x)\) в этих интервалах.

Опишите формулы и способы решения уравнения третьей степени, а также метод интервалов знакопостоянства для данной задачи, чтобы ответ был основательным и понятным.