Что нужно сделать с выражением (u^2−2u+4/4u^2−1⋅2u^2+u/u^3+8−u+2/2u^2−u):5/u^2+2u−10u+1/5−10u?

Давайте начнем разбираться с данной задачей. У нас есть выражение:

\(\frac{{u^2 - 2u + 4}}{{4u^2 - 1}} \cdot \frac{{2u^2 + u}}{{u^3 + 8 - u + 2}} : \frac{{2u^2 - u}}{{5 - 10u}}\)

Для начала, давайте проанализируем каждый шаг и объясним, почему мы его делаем. Мы будем использовать свойства алгебры и знания об арифметике дробей для решения данного выражения.

1. Рассмотрим первый множитель \(\frac{{u^2 - 2u + 4}}{{4u^2 - 1}}\).
У нас здесь есть разность квадратов в числителе и знаменателе. Таким образом, мы можем факторизовать числитель и знаменатель по формуле \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\):
\(\frac{{(u - 2)(u + 2)}}{{(2u + 1)(2u - 1)}}\)

2. Теперь рассмотрим второй множитель \(\frac{{2u^2 + u}}{{u^3 + 8 - u + 2}}\).
Здесь мы также можем использовать факторизацию, чтобы упростить выражение.
Мы видим, что в знаменателе есть разность кубов. Формула для разности кубов \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\):
\(\frac{{u(2u + 1)}}{{(u + 2)(u^2 - 2u + 4)}}\)

3. Теперь рассмотрим деление \(: \frac{{2u^2 - u}}{{5 - 10u}}\).
Чтобы разделить одну дробь на другую, мы можем умножить первую дробь на обратную второй дроби.
Обратная дробь получается, если поменять числитель и знаменатель местами:
\(\frac{{u(5 - 10u)}}{{2u^2 - u}}\)

4. Теперь объединим все полученные выражения и сократим подобные члены:
\(\frac{{(u - 2)(u + 2)}}{{(2u + 1)(2u - 1)}} \cdot \frac{{u(2u + 1)}}{{(u + 2)(u^2 - 2u + 4)}} \cdot \frac{{u(5 - 10u)}}{{2u^2 - u}}\)

Сократим подобные члены:
Одинаковые множители в числителе и знаменателе можно сократить:
\(u \cdot \frac{{(u - 2)(u + 2)}}{{(2u - 1)}} \cdot \frac{{5 - 10u}}{{(u + 2)(u^2 - 2u + 4)}}\)

5. Посмотрим на полученное выражение и упростим его:
Заметим, что у нас есть \(u + 2\) в числителе и знаменателе. Эти множители можно сократить:
\(u \cdot \frac{{(u - 2)}}{{(2u - 1)}} \cdot \frac{{5 - 10u}}{{(u^2 - 2u + 4)}}\)

6. Окончательный ответ:
Ответом на данную задачу является:

\(u \cdot \frac{{(u - 2)(5 - 10u)}}{{(2u - 1)(u^2 - 2u + 4)}}\)

В этом выражении мы использовали свойства алгебры, знание разложения на множители и правила упрощения дробей. Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять, как решить данную задачу школьнику.