Что нужно найти в уравнении log x+1(2x^2-5x-7)=2: сумму корней или корень (если он единственный)?

Чтобы решить данное уравнение и найти сумму корней или корень (если он единственный), мы должны применить различные свойства логарифмов вместе с методами решения квадратных уравнений. Пошаговое решение будет следующим:

1. В начале, обратите внимание на запись уравнения. Выражение log x+1 означает логарифм по основанию x+1. Также заметьте, что равенство установлено как 2.

2. Примените свойства логарифмов, чтобы упростить выражение внутри логарифма. Используя свойство \(\log_a{b^n} = n\log_a{b}\), мы можем записать уравнение как:

\(\log_{x+1}(2x^2 - 5x - 7) = 2\)

3. Далее, используем определение логарифма, чтобы переписать уравнение в экспоненциальной форме. Для этого мы знаем, что \(\log_a{b} = c\) эквивалентно \(a^c = b\). Применим это свойство:

\((x+1)^2 = 2x^2 - 5x - 7\)

4. Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\(x^2 + 2x + 1 = 2x^2 - 5x - 7\)

\(x^2 - 7x - 8 = 0\)

5. У нас получилось квадратное уравнение. Теперь мы можем решить его, используя любой подход, который предпочитаете. Можно использовать факторизацию, формулу дискриминанта или метод завершения квадрата.

Для этой задачи, мы воспользуемся формулой дискриминанта. Формула дискриминанта имеет вид:

\(D = b^2 - 4ac\), где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае, a = 1, b = -7 и c = -8.

6. Рассчитаем дискриминант, используя формулу:

\(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81\)

7. Поскольку дискриминант (D) положительный, у нас есть два различных корня.

8. Теперь используем формулу для нахождения корней:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1}\)

\(x = \frac{7 \pm 9}{2}\)

Таким образом, мы получаем два корня x1 и x2:

\(x1 = \frac{7 + 9}{2} = 8\)

\(x2 = \frac{7 - 9}{2} = -1\)

9. Ответ: В уравнении log x+1(2x^2-5x-7)=2, сумма корней равна 8 + (-1) = 7.