Что нужно найти в прямоугольнике АВСD, где диагонали пересекаются в точке O, ∠BOA = 60°, а BK⊥AO и AK = 7 см? Выберите

Чтобы найти нужную величину в прямоугольнике АВСD, давайте разберем каждый шаг по порядку.

1) Прежде всего, нам необходимо понять, что же нужно найти в данной задаче. Мы ищем длину отрезка на диагонали AO (пусть этот отрезок обозначается как BO), который перпендикулярен AO и имеет длину AK равную 7 см.

2) Отметим уже известное в нашем прямоугольнике. У нас имеется угол BOA, который равен 60°.

3) Посмотрим на треугольник ABK. У нас есть гипотенуза AK (длина 7 см) и угол при основании A, равный 90° (так как AK - перпендикуляр). Мы также можем отметить, что треугольник BOK является прямоугольным, так как BO - также перпендикуляр к AO.

4) Теперь, чтобы найти длину отрезка BO, воспользуемся теоремой Пифагора. Она гласит, что квадрат гипотенузы (в нашем случае AK) равен сумме квадратов катетов (в нашем случае BO и KO).

\[AK^2 = BO^2 + KO^2\]
\[7^2 = BO^2 + KO^2\]
\[49 = BO^2 + KO^2\]

5) Дальше мы можем вспомнить, что BO - это искомая длина, которую мы пытаемся найти. Поэтому давайте обозначим ее как x. Тогда у нас будет следующее уравнение:

\[49 = x^2 + KO^2\]

Итак, у нас есть уравнение, и наше следующее задание - найти KO.

6) Посмотрим на треугольник АКО, где KO - это катет, а AK - это гипотенуза. По определению тригонометрии, мы знаем, что для прямоугольного треугольника с углом x, соседним катетом и гипотенузой, верно следующее соотношение:

\[KO = AK \cdot \sin(x)\]

В нашем случае, AK = 7 см, и угол x = 60° (так как ∠BOA = 60°). Подставляя в наше уравнение, получим:

\[KO = 7 \cdot \sin(60°)\]

7) Вычислим значение \(\sin(60°)\), которое составляет \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[KO = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[KO = \frac{7\sqrt{3}}{2}\]

Итак, мы нашли значение KO - длину катета.

8) Теперь, если мы знаем KO, мы можем подставить его обратно в уравнение Пифагора и решить его относительно x (или BO):

\[49 = x^2 + \left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)^2\]
\[49 = x^2 + \frac{49 \cdot 3}{4}\]
\[49 = x^2 + \frac{147}{4}\]
\[49 - \frac{147}{4} = x^2\]
\[\frac{196 - 147}{4} = x^2\]
\[\frac{49}{4} = x^2\]

9) Чтобы найти x, возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[x = \sqrt{\frac{49}{4}}\]
\[x = \frac{7}{2}\]

10) Окончательно, мы нашли, что x (т.е. BO) равен \(\frac{7}{2}\) см.

Итак, правильным ответом является вариант 1) 14 см.