Что нужно найти в пирамиде DABC с треугольником ABC в основании, где AC=AB=10 см, BC=12 см, и каждый угол при основании

Чтобы найти то, что нужно найти в пирамиде DABC с треугольником ABC в основании, давайте рассмотрим ее подробнее.

У нас есть пирамида DABC, где треугольник ABC является основанием. Угол между сторонами AC и AB равен 45 градусам, а сторона BC равна 12 см. Сторона AC также равна стороне AB и равна 10 см.

Первое, что мы можем найти, это высоту пирамиды. Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Рассмотрим треугольник ABC.

Мы знаем, что угол при основании треугольника ABC равен 45 градусам, а сторона BC равна 12 см. Так как треугольник ABC - прямоугольный, мы можем использовать связанные синусы, чтобы найти высоту треугольника ABC.

Синус угла 45 градусов равен \( \frac{1}{\sqrt{2}} \). Таким образом, мы можем найти высоту треугольника ABC следующим образом:

\[ AC \cdot \sin(45) = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \, \text{см} \]

Теперь, зная высоту треугольника ABC, мы можем найти объем пирамиды DABC. Объем пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h \), где \( S_{\text{осн}} \) - площадь основания, а \( h \) - высота пирамиды.

Площадь треугольника ABC можно найти с помощью формулы Герона, так как у нас есть длины всех трех сторон:

\[ S_{\text{осн}} = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - AC) \cdot (p - BC)} \]

где \( p \) - полупериметр треугольника ABC, равный \( \frac{AB + AC + BC}{2} \).

Вычислим \( p \):

\[ p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16 \, \text{см} \]

Теперь можем найти площадь основания:

\[ S_{\text{осн}} = \sqrt{16 \cdot (16 - 10) \cdot (16 - 10) \cdot (16 - 12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{2304} = 48 \, \text{см}^2 \]

Теперь мы можем вычислить объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 5\sqrt{2} = 16 \cdot 5\sqrt{2} = 80\sqrt{2} \, \text{см}^3 \]

Таким образом, в пирамиде DABC с указанными данными, объем равен \( 80\sqrt{2} \) кубических сантиметров.