Что нужно найти в данном выражении (х - 4/х)^6?

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово. Данное выражение \( \left( x - \frac{4}{x} \right)^6 \) является шестой степенью разности между переменной \( x \) и дробью \( \frac{4}{x} \). Наша задача - определить, что получится, раскрыв эту степень.

Шаг 1: Воспользуемся биномом Ньютона. Для раскрытия степени \( (a - b)^n \), нам понадобится формула бинома Ньютона:

\[
(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k
\]

где \( \binom{n}{k} \) обозначает биномиальный коэффициент, равный

\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

Здесь \( n! \) обозначает факториал числа \( n \), что означает произведение всех целых чисел от 1 до \( n \).

Применим эту формулу к нашему выражению.

Шаг 2: Для разложения \((x - 4/x)^6\) воспользуемся формулой бинома Ньютона, где \( a = x \) и \( b = \frac{4}{x} \), и \( n = 6 \).

\[
(x - 4/x)^6 = \binom{6}{0} x^6 (-4/x)^0 + \binom{6}{1} x^5 (-4/x)^1 + \binom{6}{2} x^4 (-4/x)^2 + \binom{6}{3} x^3 (-4/x)^3 + \binom{6}{4} x^2 (-4/x)^4 + \binom{6}{5} x^1 (-4/x)^5 + \binom{6}{6} x^0 (-4/x)^6
\]

Шаг 3: Теперь мы можем упростить каждый из членов, заменив биномиальные коэффициенты на их значения.

\[
= (1) x^6 + (6) x^5 (-4/x) + (15) x^4 (-4/x)^2 + (20) x^3 (-4/x)^3 + (15) x^2 (-4/x)^4 + (6) x (-4/x)^5 + (1) (-4/x)^6
\]

Шаг 4: Теперь упростим выражения в каждом члене.

\[
= x^6 + 6x^4 \cdot (-4) + 15x^2 \cdot (-4)^2 + 20x \cdot (-4)^3 + 15 \cdot (-4)^4 + 6 \cdot (-4)^5 + (-4)^6/x^6
\]

\[
= x^6 - 24x^4 + 240x^2 - 960x + 1440 - 3840/x^2 + 4096/x^6
\]

Таким образом, раскрывая выражение \( (x - 4/x)^6 \), мы получаем:

\[
x^6 - 24x^4 + 240x^2 - 960x + 1440 - \frac{3840}{x^2} + \frac{4096}{x^6}
\]

Надеюсь, это подробное и пошаговое объяснение помогло вам понять, что нужно найти в данном выражении. Если у вас есть ещё вопросы, пожалуйста, задавайте!