Что нужно найти в арифметической прогрессии (an), если сумма седьмого члена равна 210, а первый член равен

Для решения этой задачи нам даны два факта: сумма седьмого члена арифметической прогрессии равна 210 и первый член неизвестен. Наши цели - найти первый член арифметической прогрессии (a1) и шаг арифметической прогрессии (d).

Для начала вспомним формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

где Sn - сумма первых n членов арифметической прогрессии, a1 - первый член арифметической прогрессии, а an - n-й член арифметической прогрессии.

Мы знаем, что сумма седьмого члена равна 210, поэтому можем написать уравнение:

\[210 = \frac{7}{2}(a_1 + a_7)\]

Также у нас есть формула для вычисления n-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где d - шаг прогрессии.

Для вычисления a7, мы можем воспользоваться данной формулой:

\[a_7 = a_1 + 6d\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a1 и d). Давайте решим эту систему уравнений.

Мы можем заменить \(a_7\) в первом уравнении:

\[210 = \frac{7}{2}(a_1 + a_1 + 6d)\]

\[210 = \frac{7}{2}(2a_1 + 6d)\]

\[210 = 7a_1 + 21d\]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной \(a_1\), которую мы можем найти, используя известные значения.

Поскольку мы не знаем конкретные значения \(a_1\) и \(d\), мы не можем решить уравнение аналитически. Однако мы можем использовать данную информацию, чтобы найти различные значения \(a_1\) и \(d\), которые удовлетворяют условию задачи.

Например, мы можем выбрать \(a_1 = 20\) и \(d = 10\), что даст нам следующую арифметическую прогрессию:

20, 30, 40, 50, 60, 70, 80

Сумма седьмого члена этой прогрессии равна 210. Таким образом, в данном примере \(a_1 = 20\) будет правильным ответом на задачу.

Однако есть и другие значения \(a_1\) и \(d\), которые также могут удовлетворять условию задачи.

Поэтому ответ на задачу - существует бесконечное количество арифметических прогрессий, для которых сумма седьмого члена равна 210. Одно из возможных решений - это арифметическая прогрессия с первым членом 20 и шагом 10.