Что ищем в треугольнике АВС, если у него прямой угол В, угол С равен 60°, BD – высота, длина отрезка CD равна 4

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора и теоремой о высоте треугольника.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае сторона AB является гипотенузой, а стороны AC и BC - катетами.

Так как угол В равен 90°, то мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны AB:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Мы знаем, что угол С равен 60°, что делает треугольник BCD равносторонним. Таким образом, сторона BC также равна 4 см.

Теорема о высоте треугольника утверждает, что высота треугольника делит его основание на две части, причем эти части обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон треугольника. То есть, если длина отрезка CD равна 4 см, то отношение длины отрезка BD к длине отрезка CD также равно отношению длины отрезка BC к длине отрезка AC:

\[\frac{BD}{CD} = \frac{BC}{AC}\]

Мы знаем, что длина отрезка CD равна 4 см. Поскольку треугольник BCD равносторонний, то отношение длины отрезка BD к длине отрезка CD равно 1 к \(\sqrt{3}\):

\[\frac{BD}{4} = \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Умножим обе части уравнения на 4 и получим:

\[BD = \frac{4}{\sqrt{3}}\]

Теперь мы можем найти длину отрезка DC, вычитая длину отрезка BD из длины отрезка BC:

\[DC = BC - BD = 4 - \frac{4}{\sqrt{3}}\]

Для нахождения длины отрезка AC воспользуемся уравнением отношения длин сторон, которое мы использовали ранее:

\[\frac{BD}{CD} = \frac{BC}{AC}\]

Подставим известные значения и найдем длину отрезка AC:

\[\frac{\frac{4}{\sqrt{3}}}{4} = \frac{4}{AC}\]

Упростим уравнение:

\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{AC}\]

Перейдем к обратным значениям:

\[\sqrt{3} = \frac{AC}{4}\]

Получаем:

\[AC = 4\sqrt{3}\]

Итак, мы нашли длины отрезков DC, AC и AB:

\[DC = 4 - \frac{4}{\sqrt{3}}\]
\[AC = 4\sqrt{3}\]
\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}\]