1. Имеется: а||b, с — линия пересечения, ∠1 — ∠2 = 102° (рис. 3.173). Найти: Все образованные углы. 2. Имеется

Хорошо, давайте по порядку решать каждую задачу.

1. Имеется линия пересечения \(с\) между параллельными прямыми \(а\) и \(b\), а также угол \(\angle1\) и \(\angle2\), отличающиеся на \(102^\circ\).
Для нахождения остальных образованных углов построим вспомогательные прямые.


Поскольку прямые \(а\) и \(b\) параллельны, углы \(\angle1\) и \(\angle2\) будут соответственно вертикальными и равными углами. То есть: \(\angle1 = \angle2\).

Теперь рассмотрим прямую \(а\) и линию пересечения \(с\). У данных прямых возникают особенные углы, называемые соответственными углами. Соответственные углы по разные стороны линии пересечения \(с\) равны друг другу. Значит, угол, образованный прямой \(а\) и линией пересечения \(с\), будет равен углу \(\angle1\). Получаем: \(\angle3 = \angle1\).

Теперь рассмотрим прямую \(b\) и линию пересечения \(с\). У данных прямых также возникают соответственные углы. Значит, угол, образованный прямой \(b\) и линией пересечения \(с\), будет равен углу \(\angle2\). Получаем: \(\angle4 = \angle2\).

Итак, все образованные углы следующие:
\(\angle1 = \angle2 = 102^\circ\)
\(\angle3 = \angle1 = 102^\circ\)
\(\angle4 = \angle2 = 102^\circ\)

2. У нас заданы углы \(\angle1\) и \(\angle3\), а нужно найти угол \(\angle4\).


Поскольку \(\angle1 = \angle2\), а вертикальные углы равны, мы можем найти значение угла \(\angle2\): \(\angle2 = \angle1 = 140^\circ\).

Угол \(\angle4\) образован прямой \(b\) и линией пересечения \(с\). Эти прямые являются соответственными, поэтому угол \(\angle4\) будет равен углу \(\angle2\): \(\angle4 = \angle2 = 140^\circ\).

Итак, \(\angle4 = 140^\circ\).

3. Нам дана биссектриса \(AK\) треугольника \(CAE\), а также прямая, проходящая через точку \(К\) и параллельная стороне \(СА\), которая пересекает сторону \(АЕ\) в точке \(N\). Задача состоит в определении значений углов треугольника \(AKN\), если угол \(\angle CAE = 78^\circ\).

Для решения этой задачи воспользуемся свойством биссектрисы треугольника. Если биссектриса разделяет противоположные стороны треугольника, то отношение длин смежных сторон треугольника равно отношению синусов смежных углов. Из этого свойства следует, что \(\frac{{AK}}{{AC}} = \frac{{KN}}{{NC}}\).

Так как прямая \(KN\) параллельна стороне \(СА\), угол \(\angle CAN\) будет равным \(\angle CAE\).

Значит, все углы треугольника \(AKN\) будут равны углу \(\angle CAE\) и равны между собой. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому каждый угол равен \(\frac{{180^\circ - \angle CAE}}{3}\).

Итак, значения углов треугольника \(AKN\) будут:
\(\angle AKN = \angle AKC = \angle ANK = \frac{{180^\circ - \angle CAE}}{3}\)