Чи повернеться тіло, якщо ви надали йому швидкість 8 км/с біля поверхні Землі, облетівши навколо неї? Будь ласка

Щоб відповісти на задачу, спочатку звернемося до закону всесвітньої тяжіння, сформульованого Ісааком Ньютоном. Закон стверджує, що два тіла притягуються одне до одного силою, прямопропорційною до їх мас і обернено пропорційною до квадрата відстані між ними.

У даній задачі ми маємо справу з оберненим процесом, а саме з рухом навколо Землі. Тому необхідно врахувати цю силу притягання для того, щоб знайти відповідь.

По-перше, давайте переведемо швидкість в одиниці, які будуть більш зручними для нас. Оскільки в задачі дано швидкість в кілометрах на секунду, переведемо її в метри на секунду. Один кілометр дорівнює 1000 метрам, тому швидкість буде 8000 м/с.

Далі необхідно визначити радіус Землі \(R\). За даними, поперечний радіус Землі дорівнює приблизно 6371 кілометр.

Так як тіло рухається обернено до центру Землі, на нього діє центростремительна сила, спрямована до центра Землі. Це сила, яка утримує тіло на колі. Ця сила може бути обчислена за допомогою формули:

\[ F_c = \frac{{m \cdot v^2}}{R} \]

де \( F_c \) - центростремительна сила,
\( m \) - маса тіла,
\( v \) - швидкість тіла,
\( R \) - радіус Землі.

Тепер, коли у нас є всі необхідні дані, можемо розрахувати центростремительну силу:

\[ F_c = \frac{{m \cdot v^2}}{R} = \frac{{m \cdot (8000)^2}}{6371000} \]

Далі треба обрахувати силу притягання \( F_g \), яка дорівнює:

\[ F_g = \frac{{G \cdot m \cdot M}}{R^2} \]

де \( G \) - гравітаційна постійна (близько \(6.673 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\)),
\( M \) - маса Землі (близько \(5.972 \times 10^{24} \, \text{кг}\)).

Тепер розрахуємо силу притягання:

\[ F_g = \frac{{G \cdot m \cdot M}}{R^2} = \frac{{(6.673 \times 10^{-11}) \cdot m \cdot (5.972 \times 10^{24})}}{(6371 \times 10^3)^2} \]

Задача полягає в тому, щоб встановити, чи повернеся тіло, якщо до нього надана швидкість 8000 м/с. Якщо поперечна центростремительна сила \( F_c \) буде меншою за силу притягання \( F_g \), тоді тіло не повернеться і буде рухатися по колу навколо Землі. Якщо \( F_c \ge F_g \), тоді тіло повернеться і буде рухатися по іншій траекторії.

Тепер, замінивши значення, можемо порівняти сили:

\[ \frac{{m \cdot (8000)^2}}{6371000} \ge \frac{{(6.673 \times 10^{-11}) \cdot m \cdot (5.972 \times 10^{24})}}{(6371 \times 10^3)^2} \]

Очевидно, що вирази працюють з масою \( m \), які знищуються. Тому загальна маса тіла, яка притягується до Землі, не вплине на результат. Тому відповідь буде такою:

\[ \frac{{(8000)^2}}{6371000} \ge \frac{{(6.673 \times 10^{-11}) \cdot (5.972 \times 10^{24})}}{(6371 \times 10^3)^2} \]

Тепер за допомогою калькулятора проведемо обчислення і з"ясуємо, чи виконується нерівність. Якщо нерівність не виконується, тоді тіло повернеся, інакше, якщо нерівність виконується, тіло не повернеться. Ви розраховуєте значення.