Во время процесса 1-2 (см. рисунок 1) гелий, состоящий из 4 молей, был охлажден до 24 °C. В результате этого объем

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей.

Дано:
- Гелий состоит из 4 молей.
- Гелий был охлажден до 24 °C.
- Объем гелия уменьшился в 3 раза.
- Давление возросло в 2 раза.
- Значение универсальной газовой постоянной \(R = 8.31 \, \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}\).

Нам нужно определить количество теплоты, которое было отобрано у гелия в данном процессе.

Давайте посмотрим на график (рисунок 1). Видим, что процесс 1-2 является адиабатическим процессом, так как газ изолирован от окружающей среды и нет теплообмена. В адиабатическом процессе теплота не передается.

Из уравнения состояния для идеального газа \(PV = nRT\) (где \(P\) - давление, \(V\) - объем, \(n\) - количество вещества, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - температура) можно получить выражение для теплоты:

\[Q = \Delta U + W \]

где
\(Q\) - количество теплоты,
\(\Delta U\) - изменение внутренней энергии системы,
\(W\) - совершенная работа системы.

В адиабатическом процессе выполнено условие:

\[\Delta U + W = 0\]

Следовательно, в адиабатическом процессе изменение внутренней энергии равно совершенной работе:

\[\Delta U = -W\]

Найдем работу \(W\) совершенную газом в данном процессе. Воспользуемся формулой для работы в адиабатическом процессе:

\[W = \frac{C_V}{\gamma - 1} \cdot \Delta T\]

где
\(C_V\) - удельная теплоемкость при постоянном объеме,
\(\gamma\) - показатель адиабаты (для идеального газа равен \(\frac{C_P}{C_V}\), где \(C_P\) - удельная теплоемкость при постоянном давлении),
\(\Delta T\) - изменение температуры.

Для идеального газа связь между показателем адиабаты и количеством вещества равна:

\[\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{nR + C_V}{C_V}\]

Из уравнения состояния \(PV = nRT\) получаем:

\[P = \frac{n}{V}RT\]

Также, по условию задачи, мы знаем, что объем гелия уменьшился в 3 раза и давление возросло в 2 раза. Мы можем это использовать для получения связи между начальными и конечными состояниями гелия.

Из адиабатического соотношения \(P_1V_1^\gamma = P_2V_2^\gamma\) получаем:

\[\left(\frac{n}{V_1}\right) P_1^\gamma = \left(\frac{n}{V_2}\right) P_2^\gamma\]

Учитывая, что \(\frac{n}{V_1} = \frac{n}{4V_2}\) (так как гелий состоит из 4 молей и исходный объем - \(V_1\)) и что \(P_2 = 2P_1\) и \(V_2 = \frac{V_1}{3}\) (из условия, что объем гелия уменьшился в 3 раза и давление возросло в 2 раза), мы получаем:

\[\left(\frac{1}{4}\right) P_1^\gamma = \left(\frac{1}{3}\right) (2P_1)^\gamma\]

Беря логарифм от обеих сторон, получаем:

\[\log{\left(\frac{1}{4}\right)} + \gamma \log{P_1} = \log{\left(\frac{1}{3}\right)} + \gamma \log{(2P_1)}\]

\[\gamma \log{P_1} - \gamma \log{(2P_1)} = \log{\left(\frac{1}{3}\right)} - \log{\left(\frac{1}{4}\right)}\]

\[\gamma \log{\left(\frac{P_1}{2P_1}\right)} = \log{3} - \log{4}\]

Воспользуемся свойствами логарифма и упростим выражение:

\[\gamma \log{\left(\frac{1}{2}\right)} = \log{\left(\frac{3}{4}\right)}\]

\[\gamma \log{2} = \log{3} - \log{4}\]

\[\gamma = \frac{\log{3} - \log{4}}{\log{2}}\]

Теперь у нас есть значение \(\gamma\), которое нам нужно для нахождения работы \(W\) в адиабатическом процессе.

Поскольку \(\Delta T\) равно изменению температуры (в данном случае, это разница между начальной и конечной температурами), мы можем найти его, используя формулу:

\[\Delta T = T_2 - T_1\]

Так как у нас нет конкретных значений для начальной и конечной температуры, мы можем использовать формулу:

\[\Delta T = \frac{T_1}{3}\]

Также, зная, что изменение внутренней энергии равно совершенной работе (\(\Delta U = -W\)), мы можем найти количество теплоты, используя уравнение:

\[Q = -\Delta U = -(-W) = W\]

С учетом всех этих данных мы можем решить данную задачу. Давайте найдем результаты.