Чи можна довести, що M N K P утворюють паралелограм, які є вершинами паралелограма у тетраедрі DABC з ребрами

Для того чтобы доказать, что точки M, N, K и P образуют параллелограмм внутри тетраэдра DABC, нам нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны друг другу.

По определению параллелограмма, противоположные стороны должны быть параллельными и иметь одинаковые длины.

Начнем с того, чтобы проверить, являются ли противоположные стороны параллельными. В нашем случае это стороны MP и NK, а также стороны MN и KP.

Для этого воспользуемся свойством параллельных прямых в пространстве: если две прямые параллельны одной из плоскостей, проходящих через эти прямые, то они параллельны друг другу.

Затем рассмотрим треугольники MPN и KPN (рассмотрим их в виде плоскостей), которые являются наклонными плоскостями DABC.

Теперь давайте докажем параллельность сторон MP и NK. Предположим, что треугольники MPN и KPN не параллельны, а инцидентны (пересекаются в одной точке). В таком случае по теореме о пересекающихся прямых в пространстве, прямая PK пересекла бы прямую MN в точке пересечения L. Это означает, что линии PK и ML имели бы еще одну точку пересечения, а значит, они были бы совпадающими линиями. Но по определению, прямая PK не совпадает с линией ML, и поэтому предположение было неверным. Мы показали, что стороны MP и NK параллельны.

Аналогичные рассуждения можно применить для доказательства параллельности сторон MN и KP.

Теперь, когда мы доказали параллельность противоположных сторон, докажем их равенство.

Проведем диагонали параллелограмма, соединив точки M и K, а также точки N и P. Обозначим точки их пересечения как Q и R соответственно.

Теперь рассмотрим треугольники QNM и QKP. Эти треугольники имеют общую сторону QN и равные углы N и K (поскольку сторона NK параллельна стороне MP). Поэтому треугольники QNM и QKP подобны по стороне-уголу.

Теперь мы знаем, что соответствующие стороны QN и QR обоих треугольников равны. Это означает, что сторона QR параллельна и равна стороне NK.

Аналогично, мы также можем доказать, что сторона RS параллельна и равна стороне MP.

Итак, мы доказали, что точки M, N, K и P образуют параллелограмм внутри тетраэдра DABC, причем сторона NK равна стороне QR и параллельна ей, а сторона MP равна стороне RS и параллельна ей.