Через вершину треугольника ABC проведена медиана. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображен треугольник

Для решения данной задачи, давайте применим свойства медианы треугольника. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

В данном случае, мы имеем треугольник ABC, и проведена медиана из вершины B. Пусть точка пересечения медианы с противоположной стороной обозначается как точка D.

Так как медиана делит противоположную сторону на две равные части, то BD равно DC. Кроме того, свойство медианы гласит, что вектор, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, делит медиану в отношении 2:1. То есть, BD = 2 * DO и DC = 2 * OC.

Таким образом, точка D является серединой стороны AC, а точка О — серединой медианы.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ADO. Учитывая, что точка О - середина медианы, вектор OD будет равен половине вектора OB.

Поскольку треугольник AOB — прямоугольный, вектор OB равен радиусу окружности, а значит он равен АО.

Таким образом, вектор OD будет равен половине вектора АО.

Обозначим за r радиус окружности, на которой лежат точки А, В и С.

Так как треугольник ВDC — подобен треугольнику ABC, то BD/AB = DC/BC = 1/2.

Зная, что AB + BC = AC (по свойству треугольника), мы можем выразить BC через AB и AC: BC = AC - AB.

Теперь мы можем построить уравнение для BD:

1/2 = BD/AB = (AC - AB)/AB.

Решим данное уравнение:

1/2 = AC/AB - 1.

Переносим 1/2 на другую сторону:

AC/AB = 3/2.

Теперь рассмотрим треугольник ADO. Из полученного ранее уравнения мы знаем, что вектор OD равен половине вектора AO.

Так как OD является медианой треугольника ABC, а AO является радиусом окружности с центром в точке О, то OD будет содержать равную 1/3 долю радиуса.

Таким образом, OD равен 1/3 * r.

Так как OD равен половине вектора AO, то OD = 1/2 * AO.

Подставляем полученное значение OD:

1/2 * AO = 1/3 * r.

Упростим полученное уравнение:

AO = (1/3 * r) / (1/2) = (1/3 * r) * (2/1) = (2/3) * r.

Таким образом, длина медианы (OD) равна (2/3) * r.

Ответ: Длина медианы треугольника ABC, проведенной из вершины B, составляет (2/3) от радиуса окружности, на которой лежат точки А, В и С.