Через какое время скорость мяча уменьшится в 5 раз, если его бросают вертикально вверх со скоростью 20 м/с?

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать законы движения и закон сохранения энергии.

1. Первым шагом вычислим время, через которое мяч достигнет максимальной высоты. Для этого воспользуемся формулой для времени подъема вертикального броска:

\[ v = u + at \],

где:
- \( v \) - конечная скорость (в данном случае равна 0, так как мяч достигнет максимальной высоты),
- \( u \) - начальная скорость (20 м/с),
- \( a \) - ускорение (равно ускорению свободного падения, пренебрегаем сопротивлением воздуха, поэтому примем его равным 9,8 м/с²),
- \( t \) - время.

Из этой формулы выражаем время:

\[ t = \frac{{v - u}}{{a}}. \]

Подставляем известные значения:

\[ t = \frac{{0 - 20}}{{-9,8}} = 2,04 \, \text{{сек}} \].

Таким образом, мяч достигнет максимальной высоты через 2,04 секунды.

2. Далее нам необходимо определить время, через которое скорость мяча уменьшится в 5 раз. Чтобы упростить задачу, обратимся к закону сохранения энергии:

\[ E_1 = E_2, \]

где:
- \( E_1 \) - начальная полная механическая энергия мяча (равна кинетической энергии),
- \( E_2 \) - конечная полная механическая энергия мяча (равна потенциальной энергии).

Начальная полная механическая энергия можно выразить следующей формулой:

\[ E_1 = \frac{1}{2} m u^2, \]

где:
- \( m \) - масса мяча (нам не дана, но для решения задачи ее можно не вычислять, так как масса не влияет на изменение скорости),
- \( u \) - начальная скорость мяча (20 м/с).

Конечная потенциальная энергия мяча возникает на максимальной высоте и равна:

\[ E_2 = m g h, \]

где:
- \( g \) - ускорение свободного падения (9,8 м/с²),
- \( h \) - высота максимума.

Таким образом, получим следующее равенство:

\[ \frac{1}{2} m u^2 = m g h. \]

Массу мяча \( m \) исключаем из уравнения, так как она встречается в обоих частях. Переписываем уравнение в более удобном для нас виде:

\[ \frac{1}{2} u^2 = g h. \]

Разделим обе части равенства на \(\frac{1}{2} u^2\):

\[ h = \frac{g h}{\frac{1}{2} u^2}. \]

Подставляем известные значения:

\[ h = \frac{9,8 \cdot 2,04^2}{\frac{1}{2} \cdot 20^2} \approx 2,02 \, \text{{метра}}. \]

Теперь рассчитаем скорость мяча при этой высоте, используя закон сохранения энергии и формулу для начальной кинетической энергии:

\[ \frac{1}{2} m u^2 = m g h. \]

Выражаем начальную скорость:

\[ u = \sqrt{2 g h}. \]

Подставляем известные значения:

\[ u = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot 2,02} \approx 6,32 \, \text{{м/с}}. \]

Таким образом, при высоте 2,02 метра скорость мяча упадет до примерно 6,32 м/с.

3. Итак, нам нужно определить, через какое время скорость мяча уменьшится в 5 раз от его начальной скорости (20 м/с). Для этого разделим начальную скорость на 5:

\[ \frac{20}{5} = 4 \, \text{{м/с}}. \]

Теперь, используя формулу свободного падения:

\[ v = u + gt, \]

где:
- \( v \) - конечная скорость (4 м/с),
- \( u \) - начальная скорость (20 м/с),
- \( g \) - ускорение свободного падения (9,8 м/с²),
- \( t \) - время.

Выразим время:

\[ t = \frac{{v - u}}{{g}}. \]

Подставляем известные значения:

\[ t = \frac{{4 - 20}}{{-9,8}} \approx 1,63 \, \text{{сек}}. \]

Итак, скорость мяча уменьшится в 5 раз через примерно 1,63 секунды.