Через какое время после выезда второго автомобиля они встретятся в первый раз на минимальном расстоянии?

Для решения этой задачи нам потребуется определить скорость и время движения каждого автомобиля, а также расстояние между ними.

Пусть первый автомобиль движется со скоростью \(v_1\) километров в час, а второй автомобиль со скоростью \(v_2\) километров в час. Пусть расстояние между ними в начальный момент времени равно \(d\) километров.

Пусть \(t\) - время в часах, прошедшее после выезда второго автомобиля.

Первый автомобиль проедет расстояние \(v_1 \cdot t\), а второй автомобиль проедет расстояние \(v_2 \cdot t\). Расстояние между автомобилями на момент времени \(t\) будет равно \(\left|v_1 \cdot t - v_2 \cdot t\right|\).

Наша цель - найти время \(t\), при котором расстояние между автомобилями будет минимальным.

Для этого нам необходимо найти такое значение \(t\), при котором производная функции расстояния по времени равна нулю.

\[
\frac{d}{dt}\left|v_1 \cdot t - v_2 \cdot t\right| = 0
\]

Так как знак модуля может измениться в зависимости от знака разности скоростей, то нам придется рассмотреть два случая.

1. Если \(v_1 > v_2\), то условие \(\frac{d}{dt}\left(v_1 \cdot t - v_2 \cdot t\right) = 0\) будет сводиться к \(\frac{d}{dt}\left((v_1 - v_2) \cdot t\right) = 0\). Решив это уравнение, получим \(t = 0\), что является начальным моментом времени.

2. Если \(v_1 < v_2\), то условие \(\frac{d}{dt}\left(v_2 \cdot t - v_1 \cdot t\right) = 0\) будет сводиться к \(\frac{d}{dt}\left((v_2 - v_1) \cdot t\right) = 0\). Решив это уравнение, получим \(t = 0\), что также является начальным моментом времени.

Таким образом, минимальное расстояние между автомобилями будет достигаться в самом начале и будет равно \(d\) километров.

Ответ: Минимальное расстояние между автомобилями будет достигаться именно в начальный момент времени после выезда второго автомобиля и будет равно исходному расстоянию \(d\) между ними.