Чему равны sin a/2, cos a/2, ctg a/2 и tg a/2 при условии, что cos a = 1/3 и 0 < a < π/2?

Спасибо, что обратились за помощью! Давайте рассмотрим пошаговое решение этой задачи.

У нас дано, что \(\cos a = \frac{1}{3}\) и \(0 < a < \frac{\pi}{2}\).

Используем формулы половинного угла для нахождения значений \(\sin \frac{a}{2}\), \(\cos \frac{a}{2}\), \(\cot \frac{a}{2}\) и \(\tan \frac{a}{2}\). Формулы имеют следующий вид:

\[
\sin \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos a}{2}}
\]
\[
\cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}}
\]
\[
\cot \frac{a}{2} = \frac{1}{\tan \frac{a}{2}} = \frac{1 - \cos a}{\sin a}
\]
\[
\tan \frac{a}{2} = \frac{\sin a}{1 + \cos a}
\]

Для начала найдем значение \(\sin a\). Мы знаем, что \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\). Подставим данное значение \(\cos a\) и найдем \(\sin a\):

\[
\sin^2 a + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1
\]
\[
\sin^2 a + \frac{1}{9} = 1
\]
\[
\sin^2 a = 1 - \frac{1}{9}
\]
\[
\sin^2 a = \frac{8}{9}
\]
\[
\sin a = \pm \sqrt{\frac{8}{9}}
\]
Поскольку \(0 < a < \frac{\pi}{2}\), то \(\sin a > 0\). Поэтому возьмем положительный корень:

\[
\sin a = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
\]

Теперь, используя найденное значение \(\sin a\), вычислим \(\sin \frac{a}{2}\), \(\cos \frac{a}{2}\), \(\cot \frac{a}{2}\) и \(\tan \frac{a}{2}\):

\[
\sin \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos a}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}} = \frac{2}{3}
\]

\[
\cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}}
\]

\[
\cot \frac{a}{2} = \frac{1}{\tan \frac{a}{2}} = \frac{1 - \cos a}{\sin a} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1
\]

\[
\tan \frac{a}{2} = \frac{\sin a}{1 + \cos a} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Итак, при условии \(\cos a = \frac{1}{3}\) и \(0 < a < \frac{\pi}{2}\), значения \(\sin \frac{a}{2}\), \(\cos \frac{a}{2}\), \(\cot \frac{a}{2}\) и \(\tan \frac{a}{2}\) равны соответственно: \(\frac{2}{3}\), \(\frac{2}{3\sqrt{3}}\), 1 и \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).