Чему равны длины сторон параллелепипеда, если его диагональ составляет 21, а отношение длин сторон равно 3:6:2?

Для решения этой задачи, мы сначала определим длины сторон параллелепипеда. Оставим некоторые стороны параллелепипеда как переменные, чтобы лучше их обозначить. Пусть длина будет равна \(l\), ширина - \(w\), а высота - \(h\).

Затем мы будем использовать информацию о диагонали и отношении длин сторон, чтобы выразить \(l\), \(w\) и \(h\) через одину из переменных.

Нам известно, что диагональ параллелепипеда равна 21. Это значит, что мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длины диагонали:

\[
d^2 = l^2 + w^2 + h^2
\]

где \(d\) - длина диагонали. Подставляя известные значения, мы получаем:

\[
21^2 = l^2 + w^2 + h^2
\]

\[
441 = l^2 + w^2 + h^2 \qquad \text{(1)}
\]

Теперь нам нужно использовать информацию об отношении длин сторон. Мы знаем, что отношение длины к ширине к высоте равно 3:6:2. Это означает, что мы можем записать:

\[
l:w:h = 3:6:2
\]

Мы можем выбрать любое положительное число для \(l\), представить его как \(3x\), и затем использовать это отношение, чтобы выразить \(w\) и \(h\) через \(x\).

Таким образом, \(l = 3x\), \(w = 6x\) и \(h = 2x\), где \(x\) - положительное число.

Теперь мы знаем значения \(l\), \(w\) и \(h\), выраженные через \(x\), и можем подставить их в уравнение (1):

\[
441 = (3x)^2 + (6x)^2 + (2x)^2
\]

\[
441 = 9x^2 + 36x^2 + 4x^2
\]

\[
441 = 49x^2
\]

Чтобы решить это уравнение, мы разделим обе стороны на 49:

\[
\frac{{441}}{{49}} = x^2
\]

\[
9 = x^2
\]

Извлекая квадратный корень по обеим сторонам, получаем:

\[
x = 3
\]

Теперь, когда у нас есть значение \(x\), мы можем найти конкретные значения \(l\), \(w\) и \(h\):

\[
l = 3x = 3 \cdot 3 = 9
\]

\[
w = 6x = 6 \cdot 3 = 18
\]

\[
h = 2x = 2 \cdot 3 = 6
\]

Таким образом, длины сторон параллелепипеда равны 9, 18 и 6.