Чему равны длины медиан ВМ и АN в треугольнике АВС, если известно, что площадь треугольника АВС равна 36 квадратных

Для решения данной задачи воспользуемся основным свойством медиан треугольника. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данной задаче мы ищем длины медиан ВМ и АN треугольника АВС.

Площадь треугольника можно выразить через длины сторон и одну из медиан по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot AB\]

где S - площадь треугольника, BM - длина медианы ВМ, AB - длина стороны треугольника АВ.

Из условия задачи известно, что площадь треугольника равна 36 квадратных см. Подставим это значение в нашу формулу:

\[36 = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot AB\]

Для дальнейшего решения задачи необходимо знать значения АВ и ВМ.

Построим это треугольник.

            В

           / \

          /   \

       М /_____\

        / \   / \

       /   \ /   \

      А____ С ____Н 

Так как медиана разбивает сторону на две равные части, то длина ВМ будет равна половине длины AB, то есть BM = \(\frac{1}{2} \cdot AB\).

Теперь мы можем исправить нашу формулу площади треугольника:

\[36 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AB\]

Упростим эту формулу:

\[36 = \frac{1}{4} \cdot AB^2\]

Мы можем избавиться от дроби и переписать это уравнение:

\[AB^2 = 36 \cdot 4\]

\[AB^2 = 144\]

Теперь найдем длину стороны AB, возведя обе части уравнения в квадрат:

\[AB = \sqrt{144}\]

\[AB = 12\]

Таким образом, длина стороны АВ равна 12 см.

Теперь мы можем найти длину медианы ВМ:

\[BM = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\]

Таким образом, длина медианы ВМ равна 6 см.

Для нахождения длины медианы АN нам понадобится еще одно свойство медианы треугольника. Медиана АN в треугольнике АВС также делит сторону на две части, одна из которых равна трети длины стороны АВ, то есть AN = \(\frac{1}{3} \cdot AB\).

Теперь найдем длину медианы АN:

\[AN = \frac{1}{3} \cdot AB = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4\]

Таким образом, длина медианы АN равна 4 см.

Итак, мы получили, что длина медианы ВМ равна 6 см, а длина медианы АN равна 4 см.