Чему равно значение x в уравнении cos3x=-5/3?

Конечно, я могу помочь вам решить эту задачу.

У нас есть уравнение \(\cos(3x) = -\frac{5}{3}\). Чтобы найти значение \(x\), мы будем искать все значения \(x\), при которых косинус тройного угла равен \(-\frac{5}{3}\).

Давайте приступим к решению задачи пошагово:

Шаг 1: Замена двойного угла
Используем формулу для замены двойного угла: \(\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1\).
Применим эту формулу к нашему уравнению: \(2\cos^2(3x) - 1 = -\frac{5}{3}\).

Шаг 2: Поставим переменную
Введем новую переменную, скажем, пусть \(u = \cos(3x)\). Теперь у нас получилось следующее уравнение: \(2u^2 - 1 = -\frac{5}{3}\).

Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Решим полученное квадратное уравнение: \(2u^2 - 1 = -\frac{5}{3}\).
Для этого мы выразим \(u^2\):
\[2u^2 = -\frac{5}{3} + 1\]
\[2u^2 = -\frac{2}{3}\]

Шаг 4: Устранение квадратного корня
Чтобы избавиться от квадратного корня, возьмем корень из обеих частей уравнения:
\(\sqrt{2u^2} = \sqrt{-\frac{2}{3}}\)

Примечание: Мы должны помнить, что \(\sqrt{a^2} = |a|\).

Шаг 5: Решение уравнения
Разделим это на два отдельных уравнения:
\[u = \sqrt{-\frac{2}{3}}\] или \[u = -\sqrt{-\frac{2}{3}}\]

Шаг 6: Подстановка обратно
Мы использовали \(u = \cos(3x)\), поэтому подставим эту формулу обратно:
\[\cos(3x) = \sqrt{-\frac{2}{3}}\] или \[\cos(3x) = -\sqrt{-\frac{2}{3}}\]

Шаг 7: Нахождение \(\cos^{-1}\)
Чтобы найти значения \(x\), возьмем обратный косинус от обоих частей уравнения:
\[3x = \cos^{-1}\left(\sqrt{-\frac{2}{3}}\right)\] или \[3x = \cos^{-1}\left(-\sqrt{-\frac{2}{3}}\right)\]

Шаг 8: Нахождение \(x\)
Теперь разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти \(x\):
\[x = \frac{1}{3}\cos^{-1}\left(\sqrt{-\frac{2}{3}}\right)\] или \[x = \frac{1}{3}\cos^{-1}\left(-\sqrt{-\frac{2}{3}}\right)\]

Таким образом, значения \(x\) в уравнении \(\cos(3x) = -\frac{5}{3}\) равны \(\frac{1}{3}\cos^{-1}\left(\sqrt{-\frac{2}{3}}\right)\) или \(\frac{1}{3}\cos^{-1}\left(-\sqrt{-\frac{2}{3}}\right)\).

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном случае отрицательный корень появляется из-за отрицательного значения \(-\frac{5}{3}\), которое не имеет действительного аргумента в косинусе. Поэтому это решение может быть использовано только в более общей математике и теории функций. Будьте внимательны, когда работаете с подобными задачами.