Чему равно значение 8 sin a, если tg a = 0,75 и -п < a < -п/2?

Дано: \(\tan a = 0.75\) и \(-\frac{\pi}{2} < a < -\pi\)

У нас есть соотношение между тангенсом и синусом:

\(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}\)

Мы также знаем, что \(\cos^2 a = 1 - \sin^2 a\) из тригонометрического тождества:

\(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\)

На основе этой информации мы можем решить задачу.

По условию задачи у нас тангенс отрицательный, а синус положительный. Также, в данном случае \(a\) находится во втором квадранте, что означает, что синус \(a\) положительный. Поэтому, \(\sin a > 0\), \(\cos a < 0\), и тангенс \(a\) отрицателен.

Используя формулу \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}\), подставим известные значения: \(\frac{\sin a}{\cos a} = 0.75\).

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\):

\(\sin^2 a + (1 - \sin^2 a) = 1\)

\(\sin^2 a - \sin^2 a + 1 = 1\)

\(1 = 1\)

Нашли равенство, это означает что условие задачи выполняется. Таким образом, мы можем продолжить решение.

Изначально у нас было:

\(\frac{\sin a}{\cos a} = 0.75\)

Мы хотим найти значение \(8 \sin a\). Чтобы узнать, чему равно \( \sin a\), мы должны избавиться от дроби, умножив обе части уравнения на \(\cos a\):

\(\sin a = 0.75 \cos a\)

Теперь, чтобы найти значение \(8 \sin a\), мы подставляем значение \(\sin a\) из последнего уравнения:

\(8 \sin a = 8 \cdot 0.75 \cos a\)

\(8 \sin a = 6 \cos a\)

Теперь нам нужно найти значение \(\cos a\). Мы знаем, что \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), поэтому мы можем найти \(\cos a\) следующим образом:

\(\cos^2 a = 1 - \sin^2 a\)

\(\cos^2 a = 1 - (0.75 \cos a)^2\)

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\(\cos^2 a = 1 - 0.5625 \cos^2 a\)

Переносим все члены с \(\cos^2 a\) на одну сторону:

\(\cos^2 a + 0.5625 \cos^2 a = 1\)

сложим члены с \(\cos^2 a\):

\(1.5625 \cos^2 a = 1\)

Разделим обе части уравнения на 1.5625:

\(\cos^2 a = \frac{1}{1.5625}\)

\(\cos^2 a = \frac{16}{25}\)

Мы знаем, что квадратный корень из \(\cos^2 a\) даст нам значение самой \(\cos a\) (так как \(\cos a > 0\) во втором квадранте), поэтому:

\(\cos a = \frac{4}{5}\)

Теперь, подставляем это значение \(\cos a\) в наше исходное уравнение \(8 \sin a = 6 \cos a\):

\(8 \sin a = 6 \cdot \frac{4}{5}\)

\(8 \sin a = \frac{24}{5}\)

Таким образом, значение \(8 \sin a\) равно \(\frac{24}{5}\).