Чему равно выражение cos^2β+sinβ/2+sin^2β, если известно, что cosβ=−29/47 и β находится в интервале (π;3π/2)?

Чтобы решить эту задачу, мы должны подставить значение \(\cos\beta\) в выражение и затем произвести вычисления. Дано, что \(\cos\beta = -\frac{29}{47}\). Теперь давайте заменим \(\cos\beta\) на это значение:

\[
\cos^2\beta + \sin\beta/2 + \sin^2\beta
\]

\[
\left(-\frac{29}{47}\right)^2 + \sin\beta/2 + \sin^2\beta
\]

Чтобы найти значение \(\sin\beta\), воспользуемся формулой трехгранных синусов, так как нам дано, что \(\beta\) находится в интервале \((\pi, \frac{3\pi}{2})\). Используя эту формулу, мы можем записать:

\[
\sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta}
\]

\[
\sin\beta = \sqrt{1 - \left(-\frac{29}{47}\right)^2}
\]

\[
\sin\beta = \sqrt{1 - \frac{841}{2209}}
\]

\[
\sin\beta = \sqrt{\frac{1368}{2209}}
\]

Рассчитав значение \(\sin\beta\), мы можем подставить его обратно в исходное выражение:

\[
\left(-\frac{29}{47}\right)^2 + \sqrt{\frac{1368}{2209}}/2 + \left(\sqrt{\frac{1368}{2209}}\right)^2
\]

\[
\frac{841}{2209} + \frac{\sqrt{1368}}{2 \cdot \sqrt{2209}} + \frac{1368}{2209}
\]

\[
\frac{841}{2209} + \frac{\sqrt{1368}}{2 \cdot 47} + \frac{1368}{2209}
\]

\[
\frac{841}{2209} + \frac{12\sqrt{19}}{94} + \frac{1368}{2209}
\]

\[
\frac{841 + 12\sqrt{19} + 1368}{2209} = \frac{2209 + 12\sqrt{19}}{2209}
\]

Таким образом, выражение \(\cos^2\beta + \sin\beta/2 + \sin^2\beta\) равно \(\frac{2209 + 12\sqrt{19}}{2209}\).