Чему равно tg альфа, если cos альфа = √10/10 и альфа находится в интервале (3пи/2, 2пи)?

Для решения данной задачи используем определение тангенса:
\[tg\alpha = \frac{{\sin\alpha}}{{\cos\alpha}}\]

Нам дано значение \(\cos\alpha = \frac{{\sqrt{10}}}{{10}}\), который находится в интервале \((\frac{{3\pi}}{{2}}, 2\pi)\). Чтобы определить знак функции тангенса в данном интервале, вспомним о наличии квадранта, в котором находится угол \(\alpha\).

Так как данное значение косинуса положительно, то угол \(\alpha\) лежит во втором квадранте, где значения синуса положительны. Теперь найдем значение синуса.

Используем формулу Пифагора:
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]

Подставляем известное значение \(\cos\alpha\):
\[\sin^2\alpha + \left(\frac{{\sqrt{10}}}{{10}}\right)^2 = 1\]
\[\sin^2\alpha + \frac{10}{100} = 1\]
\[\sin^2\alpha + \frac{1}{10} = 1\]
\[\sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\]
\[\sin\alpha = \sqrt{\frac{9}{10}}\]
\[\sin\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}\]

Теперь можно найти значение тангенса:
\[tg\alpha = \frac{{\sin\alpha}}{{\cos\alpha}}\]
\[tg\alpha = \frac{{\frac{3\sqrt{10}}{10}}}{{\frac{\sqrt{10}}{10}}}\]
\[tg\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\]
\[tg\alpha = 3\]

Таким образом, значение функции тангенса угла \(\alpha\) равно 3 при условии \(\cos\alpha = \frac{{\sqrt{10}}}{{10}}\) и угол \(\alpha\) находится в интервале \((\frac{{3\pi}}{{2}}, 2\pi)\).