Чему равно скалярное произведение ({1; 1; 1}*c), если на плоскости xoy даны два вектора a{2; 1} и b={1; -1

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать определение скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов a и b можно вычислить следующим образом:

\[ a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos{\theta} \]

Где |a| и |b| обозначают длины векторов a и b соответственно, а \(\theta\) - угол между этими векторами.

Сначала найдем длины векторов a и b. Для этого мы должны использовать формулу длины вектора:

\[ |v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \]

Для вектора a = {2; 1}:
\[ |a| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \]

Для вектора b = {1; -1}:
\[ |b| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \]

Теперь у нас есть длины векторов a и b. Мы также должны найти угол между этими векторами \(\theta\). Для этого мы можем использовать следующую формулу:

\[ \cos{\theta} = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} \]

Подставляя значения, мы получаем:

\[ \cos{\theta} = \frac{(2 \cdot 1) + (1 \cdot -1)}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2 - 1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac {1}{\sqrt{10}} \]

Теперь мы можем найти скалярное произведение между вектором a и вектором c:

\[ a \cdot c = |a| \cdot |c| \cdot \cos{\theta} = \sqrt{5} \cdot |c| \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \]

Так как нам дано векторное произведение a и b, и оно равно вектору c, то:

\[ a \times b = c \Rightarrow \text{{[2; 1]}} \times \text{{[1; -1]}} = \text{{[x; y]}} \Rightarrow 2 - 1 = x; 1 + 1 = y \Rightarrow x=1, y=2 \Rightarrow c = \text{{[1; 2]}} \]

Подставляя значения, мы получаем:

\[ a \cdot c = \sqrt{5} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2} \cdot \frac {1}{\sqrt{10}} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} \]

Итак, скалярное произведение ({1; 1; 1}*c) равно \(\frac{5}{\sqrt{10}}\).