Чему равно sin108°·sin252°-cos252°·cos108°?

Окей, давайте начнем! Чтобы решить эту задачу, мы сможем использовать формулу разности для функции синуса и формулу произведения для функции косинуса.

Начнем с раскрытия произведения:

\(\sin(108°) \cdot \sin(252°) - \cos(252°) \cdot \cos(108°)\)

Для упрощения решения, давайте рассмотрим сначала пять специальных значений синуса и косинуса:

\(\sin(30°) = \frac{1}{2}, \quad \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(90°) = 1\)

\(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos(60°) = \frac{1}{2}, \quad \cos(90°) = 0\)

Теперь мы можем выразить значения синуса и косинуса для предложенных углов, используя эти знания:

\(\sin(108°) = \sin(90° + 18°) = \sin(90°)\cos(18°) + \cos(90°)\sin(18°) = 1 \cdot \cos(18°) + 0 \cdot \sin(18°) = \cos(18°)\)

\(\cos(108°) = \cos(90° + 18°) = \cos(90°)\cos(18°) - \sin(90°)\sin(18°) = 0 \cdot \cos(18°) - 1 \cdot \sin(18°) = -\sin(18°)\)

\(\sin(252°) = \sin(180° + 72°) = \sin(180°)\cos(72°) + \cos(180°)\sin(72°) = 0 \cdot \cos(72°) + (-1) \cdot \sin(72°) = -\sin(72°)\)

\(\cos(252°) = \cos(180° + 72°) = \cos(180°)\cos(72°) - \sin(180°)\sin(72°) = (-1) \cdot \cos(72°) - 0 \cdot \sin(72°) = -\cos(72°)\)

Теперь мы можем заменить исходное уравнение выражениями, полученными выше:

\(\sin(108°) \cdot \sin(252°) - \cos(252°) \cdot \cos(108°) = \cos(18°) \cdot (-\sin(72°)) - (-\cos(72°)) \cdot (-\sin(18°))\)

Теперь давайте воспользуемся формулой произведения для синуса:

\(\sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) = \frac{1}{2}\left(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\right)\)

Применяя формулу, мы можем переписать нашу задачу следующим образом:

\(\cos(18°) \cdot (-\sin(72°)) - (-\cos(72°)) \cdot (-\sin(18°)) = \frac{1}{2}\left(\cos(18° - 72°) - \cos(18° + 72°)\right) - \frac{1}{2}\left(\cos(72° - 18°) - \cos(72° + 18°)\right)\)

\(\frac{1}{2}\left(\cos(-54°) - \cos(90°)\right) - \frac{1}{2}\left(\cos(54°) - \cos(90°)\right)\)

Теперь давайте воспользуемся формулой разности косинусов:

\(\cos(\alpha) - \cos(\beta) = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)\)

Применяя формулу, мы можем переписать нашу задачу следующим образом:

\(\frac{1}{2}\left(-2\sin\left(\frac{18° - 54°}{2}\right)\sin\left(\frac{18° + 54°}{2}\right)\right) - \frac{1}{2}\left(-2\sin\left(\frac{72° - 18°}{2}\right)\sin\left(\frac{72° + 18°}{2}\right)\right)\)

\(\frac{1}{2}\left(-2\sin(-18°)\sin(36°)\right) - \frac{1}{2}\left(-2\sin(27°)\sin(90°)\right)\)

Теперь давайте заметим, что:

\(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\)

\(\sin(90°) = 1\)

Используя эти замечания, мы можем упростить наше уравнение:

\(\frac{1}{2}\left(2\sin(18°)\sin(36°)\right) - \frac{1}{2}\left(-2\sin(27°) \cdot 1\right)\)

В результате получаем:

\(\sin(18°)\sin(36°) + \sin(27°)\)

Таким образом, ответ на задачу равен \(\sin(18°)\sin(36°) + \sin(27°)\).