Чему равно произведение mn³, если известно, что 3m²n³=375 и 5mn⁶=320?

Для решения данной задачи, сначала мы можем использовать информацию из уравнения 3m²n³ = 375, чтобы найти значение выражения mn³. Давайте разберемся подробнее:

1. Начнем с уравнения 3m²n³ = 375. Мы хотим найти значение mn³, поэтому давайте разделим оба выражения на 3:
\[\frac{{3m²n³}}{{3}} = \frac{{375}}{{3}}\]

Это приведет нас к уравнению m²n³ = 125.

2. Теперь у нас есть еще одно уравнение, которое может нам помочь: 5mn⁶ = 320. Данное уравнение содержит mn⁶, а нам нужно найти mn³. Чтобы сократить степень n, разделим оба выражения на mn³:
\[\frac{{5mn⁶}}{{mn³}} = \frac{{320}}{{mn³}}\]

Это уравнение упрощается до 5n³ = 320 / mn³.

3. Мы можем представить mn³ и n³ в виде произведения:
mn³ * n³ = (mn)³.

Теперь, если мы возьмем кубический корень от обоих выражений в уравнении 2, получаем:
(5n³)^(1/3) = (320 / mn³)^(1/3).

4. Теперь давайте возведем оба выражения в куб:
[(5n³)^(1/3)]³ = [(320 / mn³)^(1/3)]³.

Это приведет нас к выражению:
5n = 320 / mn³.

5. Перенесем выражение mn³ на одну сторону уравнения:
5n * mn³ = 320.

6. Подставим значение mn³, которое мы нашли в шаге 1:
5n * 125 = 320.

7. Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение n:
625n = 320.

Делим обе стороны на 625:
n = 320 / 625.

Вычисляя это выражение, получаем:
n = 0,512.

8. Теперь, когда у нас есть значение n, мы можем найти значение mn³. Подставим найденное значение n в уравнение m²n³ = 125:
m² * (0,512)³ = 125.

Вычисляем это выражение:
m² * 0,13266 = 125.

Упрощаем:
m² = 942,14.

9. Найдем значение m, извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения:
m = √942,14.

После вычисления этого выражения, мы получаем:
m ≈ 30,68.

10. Таким образом, произведение mn³ равно:
mn³ = (0,512)³ * (30,68)³.

Вычисляем это выражение:
mn³ ≈ 0,135 * 29 043.

И, наконец, результат:
mn³ ≈ 3 924,755.

Таким образом, произведение mn³ примерно равно 3 924,755.