Чему равно произведение длин отрезков BA и AC в равностороннем треугольнике АВС со стороной, равной

длине \( a \)?

Чтобы решить эту задачу, давайте введем несколько обозначений. Пусть точка \( O \) будет серединой стороны \( AB \), а точка \( D \) будет вершиной равностороннего треугольника, лежащей на продолжении стороны \( AB \). Тогда отрезок \( OC \) будет являться высотой треугольника \( ABC \), а отрезок \( OD \) будет являться медианой.

Так как треугольник равносторонний, сторона \( AB \) будет равна стороне \( BC \), которая в свою очередь равна стороне \( AC \). Поэтому мы можем обозначить длину стороны равностороннего треугольника как \( a \).

Также, так как \( O \) является серединой стороны \( AB \), то отрезок \( AO \) будет равен половине стороны равностороннего треугольника, то есть \( \frac{a}{2} \).

Пользуясь свойствами равностороннего треугольника, мы можем заметить следующее:

- Отрезок \( AC \) будет являться биссектрисой угла \( \angle B \), а значит, он будет делить сторону \( BC \) на две части пропорционально длинам отрезков \( AB \) и \( AC \). Таким образом, отношение длины отрезка \( AC \) к длине отрезка \( BC \) будет равно \( \frac{AC}{BC} = \frac{AC}{a} \).

- Отрезок \( BA \) будет являться высотой треугольника \( ABC \), и он будет делить сторону \( AC \) на две равные части. Таким образом, отношение длины отрезка \( BA \) к длине отрезка \( AC \) будет равно \( \frac{BA}{AC} = \frac{1}{2} \).

Используя эти свойства, мы можем записать следующее уравнение:

\[ \frac{AC}{a} = \frac{1}{2} \]

Чтобы найти произведение длин отрезков \( BA \) и \( AC \), нужно перемножить их длины. То есть мы должны найти значение выражения \( BA \cdot AC \).

Давайте найдем \( AC \) из уравнения, записанного выше:

\[ \frac{AC}{a} = \frac{1}{2} \]

Умножим обе части этого уравнения на \( a \):

\[ AC = \frac{a}{2} \]

Теперь мы можем подставить это значение в выражение для произведения длин отрезков:

\[ BA \cdot AC = BA \cdot \frac{a}{2} \]

Осталось только найти значение \( BA \). Так как \( BA \) является высотой треугольника \( ABC \), она будет равна высоте прямоугольного треугольника \( AOD \), где \( OD \) - медиана в равностороннем треугольнике \( AOC \). Так как треугольник \( AOD \) прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти \( BA \):

\[ BA = \sqrt{OD^2 - AO^2} \]

\( OD = \frac{a}{2} \) (так как \( O \) - середина стороны \( AB \), и \( OD \) является медианой)

\( AO = \frac{a}{2} \) (так как \( O \) - середина стороны \( AB \))

Подставив эти значения в уравнение, получаем:

\[ BA = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{0} = 0 \]

Таким образом, длина отрезка \( BA \) равна нулю.

Теперь мы можем найти произведение длин отрезков \( BA \) и \( AC \):

\[ BA \cdot AC = 0 \cdot \frac{a}{2} = 0 \]

Ответ: произведение длин отрезков \( BA \) и \( AC \) в равностороннем треугольнике \( ABC \) со стороной \( a \) равно нулю.