Чему равно cos^2(x/2), если tg(3pi/2+x)=-1/корень 15, x лежит в интервале (pi; 3pi/2)?

Для начала, давайте разберемся с выражением \( \tan\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\frac{1}{\sqrt{15}} \). Мы знаем, что тангенс это отношение синуса к косинусу, поэтому можем записать:
\[ \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)} = -\frac{1}{\sqrt{15}} \]

С помощью тригонометрических тождеств, мы можем раскрыть синус и косинус суммы углов:
\[ \frac{\sin\frac{3\pi}{2}\cos x + \cos\frac{3\pi}{2}\sin x}{\cos\frac{3\pi}{2}\cos x - \sin\frac{3\pi}{2}\sin x} = -\frac{1}{\sqrt{15}} \]

Учитывая, что \(\sin\frac{3\pi}{2} = -1\) и \(\cos\frac{3\pi}{2} = 0\), выражение упрощается до:
\[ \frac{-\cos x}{-\sin x} = -\frac{1}{\sqrt{15}} \]

Упрощая дальше, получаем:
\[ \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sqrt{15}} \]

Теперь, чтобы избавиться от дроби в левой части уравнения, воспользуемся определением тангенса:
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]

Подставим эту формулу в выражение:
\[ \tan x = \frac{1}{\sqrt{15}} \]

Теперь остается найти значение угла \( x \) в интервале \( \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right) \), для которого верно равенство. Можем обратиться к таблицам значений тангенса или использовать обратную функцию на калькуляторе. В итоге, получим:
\[ x = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right) \approx 0.3066 \]

Теперь, когда мы знаем значение \( x \), можем вычислить выражение \( \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \):
\[ \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos^2\left(\frac{0.3066}{2}\right) \]

Находим половину значения \( x \):
\[ \frac{0.3066}{2} \approx 0.1533 \]

Теперь можем воспользоваться тригонометрическим тождеством для косинуса половинного угла:
\[ \cos^2(0.1533) = \frac{1 + \cos(2 \cdot 0.1533)}{2} \]

Находим значение \( \cos(2 \cdot 0.1533) \):
\[ 2 \cdot 0.1533 \approx 0.3066 \]
\[ \cos(0.3066) \approx 0.9542 \]

Подставляем полученные значения:
\[ \cos^2(0.1533) = \frac{1 + 0.9542}{2} \]
\[ \cos^2(0.1533) \approx 0.9771 \]

Таким образом, \( \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \) примерно равно 0.9771.