Чему равно число, у которого произведение его цифр, умноженное на 13, меньше самого числа? Если прибавить 45 к этому

Давайте решим эту задачу шаг за шагом, чтобы объяснить ее школьнику.

Пусть искомое число состоит из двух цифр: десятков и единиц. Обозначим десятки за \(x\) и единицы за \(y\).

Условие говорит нам, что произведение цифр этого числа (то есть \(x \times y\)) умножено на 13, должно быть меньше самого числа \(10x + y\). Мы можем записать это математически следующим образом:

\[x \times y \times 13 < 10x + y\]

Теперь рассмотрим вторую часть условия. Если мы прибавим 45 к искомому числу, получим число, записанное в обратном порядке тех же цифр. В математической форме это можно записать так:

\[(10x + y) + 45 = 10y + x\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений, которые нужно решить одновременно. Решив эту систему, мы найдем значения \(x\) и \(y\), которые соответствуют заданному условию.

Решим первое уравнение. Умножим оба выражения условия на 13:

\[13xy < 130x + 13y\]

Теперь давайте перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\[13xy - 130x - 13y < 0\]

Дальше внесем общий множитель \(13\) в скобки:

\[13(xy - 10x - y) < 0\]

Теперь разделим оба выражения на \(13\):

\[xy - 10x - y < 0\]

Заметим, что это неравенство выражает условие, что искомое число должно быть меньше произведения его цифр, умноженного на 13.

Теперь решим второе уравнение. Раскроем скобки и соберем все члены с \(x\) и \(y\) на одну сторону уравнения:

\[10x - x + y - 10y = -45\]

\[9x - 9y = -45\]

Теперь разделим оба выражения на 9:

\[x - y = -5\]

Таким образом, мы получили систему уравнений:

\[
\begin{align*}
xy - 10x - y &< 0 \\
x - y & = -5
\end{align*}
\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Для этого, давайте выразим \(x\) через \(y\) из второго уравнения:

\[x = -5 + y\]

Подставим это выражение для \(x\) в первое уравнение:

\[( -5 + y )y - 10(-5 + y) - y < 0\]

\[y^2 - 5y + 5y + 50 - y < 0\]

\[y^2 - y + 50 < 0\]

Теперь мы получили квадратное уравнение, для которого нужно найти диапазон значений \(y\), при которых это неравенство выполняется.

Мы можем воспользоваться дискриминантом \(\Delta\) для определения диапазона решений. Дискриминант вычисляется по формуле:

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

Для нашего уравнения, где \(a = 1\), \(b = -1\) и \(c = 50\), мы получим:

\[\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 1 - 200 = -199\]

Поскольку дискриминант отрицательный (\(\Delta < 0\)), у нашего квадратного уравнения нет рациональных корней. Это значит, что нет таких значений \(y\), которые удовлетворяют ограничению \(y^2 - y + 50 < 0\).

Следовательно, система уравнений не имеет рациональных решений, которые удовлетворяют заданным условиям. Это означает, что число, которое мы искали, не существует.