Чему равна площадь прямоугольника, у которого периметр равен периметру данного квадрата, а разница между длиной одной

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть стороны прямоугольника будут \( a \) и \( b \), а сторона квадрата будет \( s \). У нас есть два условия: периметр прямоугольника равен периметру квадрата и разница между сторонами прямоугольника составляет \( x \).

Периметр квадрата определяется формулой \( P_{\text{квадрата}} = 4s \).

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть \( P_{\text{прямоугольника}} = 2a + 2b \).

Из условия задачи мы знаем, что периметр прямоугольника равен периметру квадрата. Поэтому у нас есть уравнение:

\[ 2a + 2b = 4s \]

Теперь рассмотрим условие о разнице между сторонами прямоугольника. Если разница между сторонами равна \( x \), то мы можем записать ещё одно уравнение:

\[ a - b = x \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[
\begin{align*}
2a + 2b &= 4s \\
a - b &= x \\
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения сторон прямоугольника.

Сложим эти два уравнения:

\[ 2a + 2b + a - b = 4s + x \]

Упростим левую и правую части уравнения:

\[ 3a + b = 4s + x \]

Теперь мы можем выразить одну переменную через другую, например, \( b \) через \( a \):

\[ b = 4s + x - 3a \]

Теперь подставим это значение \( b \) в первое уравнение системы:

\[ 2a + 2(4s + x - 3a) = 4s \]

Распределим умножение:

\[ 2a + 8s + 2x - 6a = 4s \]

Соберём \( a \) и \( s \) вместе:

\[ -4a + 8s + 2x = 0 \]

Теперь выразим \( a \) через \( s \) и \( x \):

\[ -4a = -8s - 2x \]

\[ a = \frac{8s + 2x}{4} \]

Таким образом, мы нашли выражение для значения \( a \) через переменные \( s \) и \( x \).

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника, умножим длину \( a \) на ширину \( b \):

\[ S = ab \]

Подставляем значение \( a = \frac{8s + 2x}{4} \):

\[ S = \frac{8s + 2x}{4} \cdot b \]

Теперь нам нужно найти значение \( b \). Мы можем использовать одно из наших исходных уравнений для этого:

\[ a - b = x \]

Подставляем значение \( a = \frac{8s + 2x}{4} \):

\[ \frac{8s + 2x}{4} - b = x \]

Умножаем оба выражения на 4, чтобы избавиться от дробей:

\[ 8s + 2x - 4b = 4x \]

Переносим все термины с \( b \) на одну сторону:

\[ 4b = 8s + 2x - 4x \]

\[ 4b = 8s - 2x \]

\[ b = \frac{8s - 2x}{4} \]

Теперь, когда у нас есть выражения для \( a \) и \( b \), мы можем подставить их в формулу для площади:

\[ S = \frac{8s + 2x}{4} \cdot \frac{8s - 2x}{4} \]

Теперь нам нужно упростить выражение:

\[ S = \frac{(8s + 2x)(8s - 2x)}{16} \]

Раскроем скобки:

\[ S = \frac{64s^2 - 16x^2}{16} \]

Упростим дробь:

\[ S = 4s^2 - x^2 \]

Итак, площадь прямоугольника равна \( 4s^2 - x^2 \).

Это наше окончательное решение.