Чему равна площадь прямоугольника, у которого периметр равен периметру данного квадрата, а разница между длиной одной

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть стороны прямоугольника будут $a$ и $b$, а сторона квадрата будет $s$. У нас есть два условия: периметр прямоугольника равен периметру квадрата и разница между сторонами прямоугольника составляет $x$.

Периметр квадрата определяется формулой $P_{\text{квадрата}}=4s$.

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть $P_{\text{прямоугольника}}=2a+2b$.

Из условия задачи мы знаем, что периметр прямоугольника равен периметру квадрата. Поэтому у нас есть уравнение:

$$2a+2b=4s$$

Теперь рассмотрим условие о разнице между сторонами прямоугольника. Если разница между сторонами равна $x$, то мы можем записать ещё одно уравнение:

$$a-b=x$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$\begin{array}{rl}2a+2b& =4s\\ a-b& =x\end{array}$$

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения сторон прямоугольника.

Сложим эти два уравнения:

$$2a+2b+a-b=4s+x$$

Упростим левую и правую части уравнения:

$$3a+b=4s+x$$

Теперь мы можем выразить одну переменную через другую, например, $b$ через $a$:

$$b=4s+x-3a$$

Теперь подставим это значение $b$ в первое уравнение системы:

$$2a+2(4s+x-3a)=4s$$

Распределим умножение:

$$2a+8s+2x-6a=4s$$

Соберём $a$ и $s$ вместе:

$$-4a+8s+2x=0$$

Теперь выразим $a$ через $s$ и $x$:

$$-4a=-8s-2x$$

$$a=\frac{8s+2x}{4}$$

Таким образом, мы нашли выражение для значения $a$ через переменные $s$ и $x$.

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника, умножим длину $a$ на ширину $b$:

$$S=ab$$

Подставляем значение $a=\frac{8s+2x}{4}$:

$$S=\frac{8s+2x}{4}\cdot b$$

Теперь нам нужно найти значение $b$. Мы можем использовать одно из наших исходных уравнений для этого:

$$a-b=x$$

Подставляем значение $a=\frac{8s+2x}{4}$:

$$\frac{8s+2x}{4}-b=x$$

Умножаем оба выражения на 4, чтобы избавиться от дробей:

$$8s+2x-4b=4x$$

Переносим все термины с $b$ на одну сторону:

$$4b=8s+2x-4x$$

$$4b=8s-2x$$

$$b=\frac{8s-2x}{4}$$

Теперь, когда у нас есть выражения для $a$ и $b$, мы можем подставить их в формулу для площади:

$$S=\frac{8s+2x}{4}\cdot \frac{8s-2x}{4}$$

Теперь нам нужно упростить выражение:

$$S=\frac{(8s+2x)(8s-2x)}{16}$$

Раскроем скобки:

$$S=\frac{64s^2-16x^2}{16}$$

Упростим дробь:

$$S=4s^2-x^2$$

Итак, площадь прямоугольника равна $4s^2-x^2$.

Это наше окончательное решение.