Чему равна площадь полной поверхности цилиндра, если его объем равен 18√3π и диагональ осевого сечения образует угол

Данная задача требует вычисления площади полной поверхности цилиндра при известном его объеме и угле диагонали осевого сечения с плоскостью основания. Для начала, разберемся со значениями объема и угла.

Объем цилиндра (V) задан формулой:
\[ V = \pi r^2 h, \]
где \( r \) - радиус основания цилиндра, а \( h \) - высота цилиндра.

Из условия задачи, объем цилиндра равен \( 18\sqrt{3}\pi \):
\[ 18\sqrt{3}\pi = \pi r^2 h. \]

Далее, диагональ осевого сечения цилиндра образует угол 30° с плоскостью основания. Рассмотрим плоскость основания цилиндра и ее диагональное сечение:

\[ \text{Здесь будет рисунок с цилиндром и углом 30°.} \]

Так как мы знаем угол между диагональю и плоскостью основания, мы можем использовать связь между диагональю, радиусом основания и высотой цилиндра:

\[ \cos(30°) = \frac{r}{d}, \]
где \( d \) - диагональ осевого сечения.

Раскроем значение \(\cos(30°)\) и получим следующее уравнение:
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{d}. \]

Мы знаем, что диагональный отрезок в плоскости основания цилиндра является диаметром этого основания. Следовательно, диаметр (\( d \)) равен удвоенному радиусу (\( r \)):
\[ d = 2r. \]

Подставим это значение в уравнение, связывающее \( r \) и \( d \):
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{2r}. \]

Упростим уравнение и выразим радиус основания (\( r \)):
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}. \]

Теперь у нас есть значение радиуса (\( r \)) и объема (\( V \)). Чтобы вычислить площадь полной поверхности цилиндра, мы должны использовать формулу:
\[ S = 2\pi r^2 + 2\pi rh, \]
где \( S \) - площадь полной поверхности цилиндра.

Подставим значения радиуса и объема в данную формулу:
\[ S = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r + h). \]

Теперь остается выразить высоту (\( h \)) через радиус (\( r \)) и объем (\( V \)). Из уравнения объема цилиндра:
\[ 18\sqrt{3}\pi = \pi r^2 h, \]
мы получаем:
\[ h = \frac{18\sqrt{3}}{r}. \]

Подставим выражение для \( h \) в формулу для площади:
\[ S = 2\pi r(r + h) = 2\pi r\left(r + \frac{18\sqrt{3}}{r}\right). \]

Теперь мы можем найти выражение для площади полной поверхности цилиндра, подставив числовые значения и вычислив:
\[ S = 2\pi r\left(r + \frac{18\sqrt{3}}{r}\right). \]

Решение данной задачи требует некоторых числовых расчетов, поэтому вам нужно указать конкретное значение радиуса, чтобы я мог дать вам окончательный ответ.