Чему равна длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике ABC, если известно, что угол C равен 90°, угол B равен 60°

Для решения данной задачи мы можем использовать теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В нашем случае мы знаем, что угол C равен 90°, поэтому сторона AB является гипотенузой треугольника ABC.

Длина стороны AC равна 4√3. Мы обозначим длины катетов как a и b.

Для начала, нам нужно найти длину катета AB, поскольку гипотенуза это сторона AB.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

Заменяя известные значения:

\[ (4\sqrt{3})^2 = AB^2 + BC^2 \]

\[ 48 = AB^2 + BC^2 \]

Также известно, что угол B равен 60°. Зная это, мы можем воспользоваться свойствами треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180°.

\[ A + B + C = 180° \]
\[ A + 60° + 90° = 180° \]
\[ A + 150° = 180° \]
\[ A = 180° - 150° \]
\[ A = 30° \]

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы найти длину катета AB.
Мы можем использовать тригонометрический закон синусов.
Закон синусов гласит:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\]

Где a - сторона напротив угла A и c - сторона напротив угла C.

Заменяя известные значения:

\[\frac{AB}{\sin 30°} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin 90°}\]

Угол C равен 90°, поэтому \(\sin 90° = 1\):

\[\frac{AB}{\sin 30°} = \frac{4\sqrt{3}}{1}\]
\[\frac{AB}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{3}\]
\[AB = 4\sqrt{3} \times \frac{1}{2}\]
\[AB = 2\sqrt{3}\]

Таким образом, длина гипотенузы треугольника ABC (сторона AB) равна \(2\sqrt{3}\).