Чему равен угол DEК в ромбе DEFK, если EО = 9см, DЕ= 10cм и DF = 16см?

Для того чтобы найти значение угла DEК в ромбе DEFK, нам необходимо использовать знания о свойствах ромба.

Свойства ромба:
1) Все стороны ромба равны между собой.
2) Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

В данной задаче нам даны длины сторон ромба DEFK. Из свойства 1) следует, что DE = EF = FK = KD. Также известно, что EО = 9 см, DЕ = 10 см и DF = 16 см.

Теперь давайте рассмотрим треугольник EOD. У него известны две стороны: DE = 10 см и EО = 9 см. По теореме Пифагора мы можем найти третью сторону OD:

\[OD = \sqrt{{DE^2 - EО^2}} = \sqrt{{10^2 - 9^2}} = \sqrt{{100 - 81}} = \sqrt{{19}} \approx 4.36\text{ см}\]

Теперь мы знаем, что сторона DK ромба равна FK = KD = \(\sqrt{{19}}\) см. Рассмотрим треугольник DFK. В нем известны две стороны: DF = 16 см и FK = \(\sqrt{{19}}\) см. Чтобы найти третью сторону, воспользуемся теоремой Пифагора:

\[DK = \sqrt{{DF^2 - FK^2}} = \sqrt{{16^2 - (\sqrt{{19}})^2}} = \sqrt{{256 - 19}} = \sqrt{{237}} \approx 15.39\text{ см}\]

Теперь у нас есть все стороны ромба DEFK: DE = 10 см, EF = FK = KD = \(\sqrt{{19}}\) см, и DK = \(\sqrt{{237}}\) см.

Рассмотрим теперь треугольник EFK. Мы знаем, что его две стороны равны: EF = FK = \(\sqrt{{19}}\). Кроме того, мы также знаем, что диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам. Значит, угол EFК равен половине угла DEFK.

Таким образом, угол EFК равен \(\frac{{\angle DEFK}}{2}\). Нам необходимо найти эту величину, поэтому давайте перейдем к выражению для угла DEFK.

Рассмотрим треугольник DEF. В нем известны три стороны: DE = 10 см, EF = \(\sqrt{{19}}\) см и DF = 16 см. Мы можем использовать закон косинусов для нахождения угла DEF:

\[\cos{{(\angle DEF)}} = \frac{{DE^2 + EF^2 - DF^2}}{{2 \cdot DE \cdot EF}}\]
\[\cos{{(\angle DEF)}} = \frac{{10^2 + (\sqrt{{19}})^2 - 16^2}}{{2 \cdot 10 \cdot \sqrt{{19}}}}\]
\[\cos{{(\angle DEF)}} = \frac{{100 + 19 - 256}}{{20 \cdot \sqrt{{19}}}}\]
\[\cos{{(\angle DEF)}} = \frac{{-137}}{{20 \cdot \sqrt{{19}}}}\]

Теперь мы можем найти значение угла DEF, взяв арккосинус от полученного значения:

\[\angle DEF = \arccos{{\left(\frac{{-137}}{{20 \cdot \sqrt{{19}}}}\right)}} \approx 129.54^\circ\]

И, наконец, мы можем найти значение угла EFК, разделив угол DEF на 2:

\[\angle EFК = \frac{{\angle DEF}}{2} = \frac{{129.54^\circ}}{2} \approx 64.77^\circ\]

Таким образом, угол DEК в ромбе DEFK приближенно равен \(64.77^\circ\).