Чему равен радиус вписанной в прямоугольную трапецию окружности, если большая из ее боковых сторон равна 20, и какая

Чтобы найти радиус вписанной окружности в прямоугольную трапецию, нам понадобится знание о свойстве такой окружности. Оно заключается в том, что радиус вписанной окружности перпендикулярен к каждой из сторон трапеции в точке их касания. Это означает, что мы можем провести прямые линии от центра окружности к каждой из вершин трапеции, и эти линии будут отрезками, перпендикулярными к сторонам.

Так как задача располагает большую из боковых сторон прямоугольной трапеции равной 20, мы можем провести прямоугольник вокруг данной трапеции для более наглядного представления. Далее, рассмотрим процесс нахождения радиуса вписанной окружности.

1. Построим прямоугольник, в котором одна из сторон равна 20.

\[
\begin{array}{c}
++++++++++++++ \\
+ + \\
+ + \\
+ + \\
+ + \\
++++++++++++++ \\
\end{array}
\]

2. Проведем диагональ внутри прямоугольника, проходящую через вершины трапеции.

\[
\begin{array}{c}
++++++++++++++ \\
+ + \\
+ + \\
+ + \\
+ + \\
++++++++++++++ \\
\end{array}
\]

3. Разделим диагональ пополам и обозначим точку пересечения диагонали с серединой стороны вписанной окружности как точку O.

\[
\begin{array}{c}
++++++++++++++ \\
+ + \\
+ O + \\
+ + \\
+ + \\
++++++++++++++ \\
\end{array}
\]

4. Проведем от точки O прямую линию, перпендикулярную стороне с длиной 20.

\[
\begin{array}{c}
++++++++++++++ \\
+ + \\
+ O + \\
+ | + \\
+ + \\
++++++++++++++ \\
\end{array}
\]

5. Обозначим середину стороны треугольника со стороной 20 как точку M.

\[
\begin{array}{c}
++++++++++++++ \\
+ + \\
+ O + \\
+ | + \\
+ M + \\
++++++++++++++ \\
\end{array}
\]

6. Из точки M проведем отрезок до точки пересечения с проведенной на шаге 4 линией.

\[
\begin{array}{c}
++++++++++++++ \\
+ + \\
+ O + \\
+ | + \\
+ M +-- \\
++++++++++++++ \\
\end{array}
\]

Таким образом, мы обозначили радиус окружности как отрезок MO.

Теперь посмотрим на треугольник OCM – прямоугольный треугольник, так как каждый из его углов является прямым (угол OCM прямой, так как MO перпендикулярен к стороне прямоугольника, а угол MCO прямой, так как MO также перпендикулярен к стороне трапеции).

Мы знаем, что сторона треугольника OC (он же половина диагонали прямоугольника) равна 20, так как это равно половине длины стороны прямоугольника.

Теперь представим, что радиус окружности равен x. Согласно свойству перпендикуляров, отрезок MO также равен x, и треугольник OCM превращается в прямоугольный треугольник с катетами x и 20 и гипотенузой r (где r - радиус окружности).

По теореме Пифагора, мы можем записать:

\[x^2 + 20^2 = r^2\]

Теперь мы можем решить этое уравнение для x.

\[x^2 + 400 = r^2\]

\[x = \sqrt{r^2-400}\]

Таким образом, радиус вписанной в прямоугольную трапецию окружности равен \(\sqrt{r^2-400}\).

Чтобы найти площадь трапеции, нам понадобится знание формулы для площади этой фигуры. Формула площади трапеции выражается следующим образом:

\[S = \frac{{a+b}}{2} \cdot h\]

Где a и b - основания трапеции, а h - высота.

В нашем случае, основания трапеции - это стороны прямоугольника, которые составляют большую и малую стороны трапеции. Высота трапеции - это радиус вписанной окружности.

Значения a и b равны 20 и 0 соответственно, так как одна из оснований трапеции равна 20, а другая - 0 (так как она состоит из точки, в которой окружность касается большей стороны трапеции).

Теперь подставим значения a, b и h в формулу для нахождения площади трапеции:

\[S = \frac{{20+0}}{2} \cdot \sqrt{r^2-400}\]

\[S = \frac{20}{2} \cdot \sqrt{r^2-400}\]

\[S = 10 \cdot \sqrt{r^2-400}\]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции равна \(10 \cdot \sqrt{r^2-400}\), где r - радиус вписанной в нее окружности.