Чему равен радиус окружности, описанной вокруг правильного четырехугольника (квадрата), если радиус вписанной

Для решения данной задачи нам необходимо использовать некоторые свойства правильных фигур. Начнем с вписанной окружности.

Правильный четырехугольник (квадрат) можно разделить на четыре равных треугольника, каждый из которых является равнобедренным. Так как его углы равны 90 градусов, каждый угол треугольника составляет 45 градусов.

Внутренние углы вписанного треугольника равны, поэтому каждый угол вписанной окружности (центральный угол) составляет \(\frac{{360^\circ}}{{4}} = 90^\circ\). Получается, что вписанная окружность в квадрат имеет диаметр, равный одной стороне квадрата.

Поскольку диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата, а радиус равен половине диаметра, то радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.

Теперь рассмотрим описанную окружность. Из свойств правильных четырехугольников известно, что центр описанной окружности совпадает с центром квадрата. Таким образом, радиус описанной окружности равен расстоянию от центра квадрата до одной из его вершин.

Триангуляция квадрата позволяет разделить его на четыре равных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике гипотенуза равна стороне квадрата, а катеты являются радиусами вписанной и описанной окружностей.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Так как длина гипотенузы (стороны квадрата) равна двум радиусам вписанной окружности, получаем следующие соотношения:

\[r_{\text{впис. окр.}}^2 + r_{\text{опис. окр.}}^2 = (2r_{\text{впис. окр.}})^2\]
\[r_{\text{впис. окр.}}^2 + r_{\text{опис. окр.}}^2 = 4r_{\text{впис. окр.}}^2\]
\[r_{\text{опис. окр.}}^2 = 3r_{\text{впис. окр.}}^2\]

То есть, квадрат радиуса описанной окружности равен трехкратному квадрату радиуса вписанной окружности.

Теперь, зная, что радиус вписанной окружности равен \(r_{\text{впис. окр.}}\), мы можем найти радиус описанной окружности, используя другую формулу:

\[r_{\text{опис. окр.}} = \sqrt{3} \cdot r_{\text{впис. окр.}}\]

Таким образом, радиус описанной окружности составляет \(\sqrt{3} \cdot r_{\text{впис. окр.}}\).