Чему равен радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот

Давайте рассмотрим данную задачу пошагово.
Первым шагом будет определение свойства вписанной окружности в равностороннем треугольнике. В равностороннем треугольнике каждая сторона равна другим сторонам, а каждый угол равен 60 градусам. Теперь, давайте обратимся к свойству вписанной окружности: длина каждой стороны равностороннего треугольника равна сумме двух радиусов описанной и вписанной окружностей.

Таким образом, чтобы найти радиус описанной окружности нашего равностороннего треугольника, нам необходимо знать радиус вписанной окружности.

Из условия задачи мы знаем, что радиус вписанной окружности равен \(r\).

Чтобы найти радиус описанной окружности, нам необходимо использовать следующую формулу:

\[R = \frac{{abc}}{{4S}}\]

где \(R\) - радиус описанной окружности, \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, \(S\) - его площадь.

В случае равностороннего треугольника длина каждой стороны равна \(a\), и его площадь можно найти с помощью формулы:

\[S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{{4}}\]

Подставляя значение формулы площади в формулу для радиуса описанной окружности, получаем:

\[R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{a \cdot a \cdot a}}{{4 \cdot \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{{4}}}}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[R = \frac{{a}}{{\sqrt{3}}}\]

Таким образом, радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен \(\frac{{a}}{{\sqrt{3}}}\), где \(a\) - длина стороны треугольника, что в данной задаче равно радиусу вписанной окружности \(r\).

Итак, ответ на задачу: радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен \(r / \sqrt{3}\).