Чему равен объем призмы, если сторона основания правильной треугольной призмы составляет 12 см и диагональ боковой

Чтобы решить эту задачу, мы будем следовать пошаговому подходу.

Шаг 1: Найдем площадь основания. Для этого нам понадобятся размеры правильного треугольника. У нас есть сторона основания, которая равна 12 см. Так как у нас треугольник правильный, все его стороны равны. Таким образом, длина одной из сторон равна 12 см.

Чтобы найти площадь основания, воспользуемся формулой для площади правильного треугольника:

\[Площадь = \frac{{сторона^2 \cdot \sqrt{3}}}{4}\]

Подставим значение стороны в формулу:

\[Площадь = \frac{{12^2 \cdot \sqrt{3}}}{4}\]

\[Площадь = \frac{{144 \cdot \sqrt{3}}}{4}\]

\[Площадь = 36\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь основания равна \(36\sqrt{3} \, \text{см}^2\).

Шаг 2: Найдем высоту призмы. Мы знаем, что диагональ боковой грани образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Найдем высоту призмы с помощью тригонометрической функции синус:

\[Высота = сторона \cdot \sin(\text{угол})\]

Подставим значения в формулу:

\[Высота = 12 \cdot \sin(60^\circ)\]

Синус 60 градусов равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[Высота = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[Высота = 6\sqrt{3}\]

Таким образом, высота призмы равна \(6\sqrt{3} \, \text{см}\).

Шаг 3: Найдем объем призмы. Объем призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту:

\[Объем = Площадь \cdot Высота\]

Подставим значения в формулу:

\[Объем = 36\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3}\]

\[Объем = 216 \cdot 3\]

\[Объем = 648 \, \text{см}^3\]

Таким образом, объем призмы составляет \(648 \, \text{см}^3\).

Ответ: Объем призмы равен \(648 \, \text{см}^3\).