Чему равен коэффициент при a^5 b^5 в разложении бинома (a+b)^10?

Конечно, я помогу вам с задачей! Давайте разложим бином (a+b)^10, используя бином Ньютона. Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:

\[(a+b)^n = C(n,0) a^n b^0 + C(n,1) a^{n-1} b^1 + C(n,2) a^{n-2} b^2 + \ldots + C(n,n-1) a^1 b^{n-1} + C(n,n) a^0 b^n\]

где \(C(n, k)\) - биномиальный коэффициент, равный числу сочетаний из \(n\) по \(k\), и вычисляется по формуле \(C(n, k) = \frac {n!}{k!(n-k)!}\).

В нашем случае \(n = 10\), и нам нужно найти коэффициент при \(a^5 b^5\) в разложении. Это означает, что мы ищем член среди всех слагаемых, в котором показатель степени для \(a\) равен 5, а для \(b\) тоже равен 5.

Давайте найдем этот коэффициент. Подставим значения в формулу бинома Ньютона:

\[(a+b)^{10} = C(10,0) a^{10} b^0 + C(10,1) a^9 b^1 + C(10,2) a^8 b^2 + C(10,3) a^7 b^3 + C(10,4) a^6 b^4 + C(10,5) a^5 b^5 + C(10,6) a^4 b^6 + C(10,7) a^3 b^7 + C(10,8) a^2 b^8 + C(10,9) a^1 b^9 + C(10,10) a^0 b^{10}\]

Очевидно, что в разложении бинома (a+b)^10 слагаемые с \(a\) и \(b\) в степени больше 5 уже не участвуют, так как они не дадут нам коэффициент при \(a^5 b^5\). Это значит, что нам нужно рассмотреть только два слагаемых:

\[C(10, 5) a^5 b^5 + C(10, 6) a^4 b^6\]

Теперь найдем эти коэффициенты с помощью биномиальных коэффициентов:

\[C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252\]

\[C(10, 6) = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210\]

Подставим полученные значения обратно в выражение:

\[C(10, 5) a^5 b^5 + C(10, 6) a^4 b^6 = 252 \cdot a^5 b^5 + 210 \cdot a^4 b^6\]

Итак, коэффициент при \(a^5 b^5\) в разложении бинома (a+b)^10 равен 252.