Чему равен коэффициент b квадратного трехчлена f(x)=x^{2}+bx+1, если известно, что касательные к графику

Чтобы найти коэффициент \(b\) квадратного трехчлена \(f(x) = x^{2} + bx + 1\), мы можем использовать информацию о касательных, проходящих через начало координат и пересекающихся под углом \(\arctan(1/3)\).

Для начала, нам нужно понять, как получить угол между касательными и горизонтальной осью \(x\). Рассмотрим угол между \(f(x)\) и горизонтальной осью \(x\). Производная квадратного трехчлена равна \(f"(x) = 2x + b\). Касательная к графику \(f(x)\) в точке \((x_0, f(x_0))\) имеет угловой коэффициент, равный производной \(f"(x_0)\). Таким образом, мы получаем, что угол между касательной и горизонтальной осью \(x\) равен \(\arctan(f"(x_0))\).

Так как мы знаем, что касательные проходят через начало координат, у нас есть точка \((0,0)\), через которую они оба проходят. Подставим это значение в выражение для производной и получим \(f"(0) = 2 \cdot 0 + b = b\). Таким образом, угол между касательными и горизонтальной осью \(x\) равен \(\arctan(b)\).

Теперь у нас есть связь между \(\arctan(b)\) и \(\arctan(1/3)\). Используя тригонометрическую функцию тангенс, мы можем записать следующее уравнение:

\(\tan(\arctan(b)) = \tan(\arctan(1/3))\)

Тригонометрическая функция тангенс является обратной к функции арктангенс, поэтому они сокращают друг друга:

\(b = 1/3\)

Таким образом, коэффициент \(b\) равен \(1/3\).