Calculate the area of the shape bounded by the lines y=4cosx, y=0, x=0, x=3pi/2(preferably on paper and with a diagram

Для решения данной задачи мы должны расчитать площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = 4 \cos(x) \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) и \( x = \frac{3\pi}{2} \).

Для начала построим график уравнения \( y = 4 \cos(x) \) на отрезке от 0 до \(\frac{3\pi}{2}\). График функции \( y = 4 \cos(x) \) представляет собой колеблющуюся кривую, которая пересекает ось x в точках \( x = 0 \), \( x = \frac{\pi}{2} \) и \( x = \pi \).

Кривая проходит через положительные значения для \( x = 0 \), \( x = \frac{\pi}{2} \), и через отрицательные значения для \( x = \pi \). Затем она снова пересекает ось x при \( x = \frac{3\pi}{2} \).

Теперь нам нужно найти точки пересечения кривой с осью x. Для этого решим уравнение \( 4 \cos(x) = 0 \). Так как \( \cos(x) = 0 \) при \( x = \frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{3\pi}{2} \), то точки пересечения кривой с осью x будут: \( x = \frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{3\pi}{2} \).

Теперь мы имеем все необходимые точки для вычисления площади фигуры. Площадь фигуры можно найти как интеграл от \( y = 4 \cos(x) \) по x от 0 до \(\frac{3\pi}{2}\).

\[ S = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} 4 \cos(x) \, dx \]

\[ S = 4 \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \cos(x) \, dx \]

\[ S = 4 [\sin(x)]_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \]

\[ S = 4[\sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(0)] \]

\[ S = 4[-1 - 0] \]

\[ S = -4 \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = 4 \cos(x) \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) и \( x = \frac{3\pi}{2} \) равна -4.

На рисунке ниже показан график функции \( y = 4 \cos(x) \), а также область, ограниченная этой функцией и указанными осями координат \( x \) и \( y \):

[insert diagram here]