Без знаходження коренів даного квадратного рівняння, перерахуйте вирази (x1+x2) ÷2 та 3x1x2, де x1 і x2 є коренями

Для решения этой задачи нам нужно использовать формулы Виета, которые связывают коэффициенты квадратного уравнения с его корнями.

Формулы Виета гласят:

Если у нас есть квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( x_1 \) и \( x_2 \) - корни этого уравнения, то:

1. Сумма корней равна отрицательному коэффициенту при \( x \) и деленному на коэффициент при \( x^2 \): \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \).

2. Произведение корней равно коэффициенту свободного члена \( c \) и деленному на коэффициент при \( x^2 \): \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).

В нашем случае у нас есть квадратное уравнение \( x^2 + 8x - 6 = 0 \), где \( a = 1 \), \( b = 8 \) и \( c = -6 \).

Согласно формулам Виета:

1. Сумма корней равна \( -\frac{8}{1} = -8 \).
Из формулы Виета следует, что \( x_1 + x_2 \) равно сумме корней.

2. Произведение корней равно \( \frac{-6}{1} = -6 \).
Из формулы Виета следует, что \( x_1 \cdot x_2 \) равно произведению корней.

Теперь, применяя эти значения к заданым выражениям, получим:

1. \( \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \).
Выражение \( \frac{x_1 + x_2}{2} \) дает нам половину суммы корней.

2. \( 3x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-6) = -18 \).
Выражение \( 3x_1 \cdot x_2 \) дает нам утроенное произведение корней.

Таким образом, ответ на задачу:

\( \frac{x_1 + x_2}{2} = -4 \) и \( 3x_1 \cdot x_2 = -18 \), где \( x_1 \) и \( x_2 \) - корни уравнения \( x^2 + 8x - 6 = 0 \).