Аня записала на доску все целые числа от 1 до 5000, и затем Боря стер некоторые k чисел. Какое максимальное значение

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся в ее условии.

У нас есть Аня, которая записала все целые числа от 1 до 5000 на доску. Затем Боря стирает некоторые k чисел. Мы хотим найти максимальное значение k, чтобы гарантировать, что среди оставшихся чисел обязательно найдется 31 число, которое является суммой тридцати остальных чисел.

Давайте рассмотрим несколько важных наблюдений. Если мы возьмем любые 31 число, сумму остальных 30 чисел можно выразить, используя формулу суммы арифметической прогрессии:

\[S_{30} = \frac{{30 \cdot (a_1 + a_{31})}}{2}\]

где \(S_{30}\) - сумма 30 чисел, \(a_1\) - первое число, \(a_{31}\) - 31 число.

Итак, чтобы найти максимальное значение k, мы должны учесть, что нам нужно выбрать k чисел таким образом, чтобы все суммы 30 оставшихся чисел были уникальными.

Так как \(S_{30}\) зависит от значения \(a_1\) и \(a_{31}\), мы можем сделать следующие наблюдения:

1. Если \(a_1 = 1\), то максимальное значение \(a_{31}\) равно 31, так как мы оставляем только 30 чисел.
2. Если \(a_1 = 2\), то максимальное значение \(a_{31}\) равно 32.
3. И так далее.

Таким образом, если мы удаляем первые k чисел, то максимальное значение \(a_{31}\) будет равно \(k + 30\).

Мы знаем, что сумма первых 30 чисел равна:

\[S_{30} = \frac{{30 \cdot (1 + 30)}}{2} = 465\]

Теперь давайте предположим, что мы выбираем числа от 1 до k, а остаток чисел мы удаляем. Если \(k + 30 \leq 465\), тогда мы можем гарантировать, что среди оставшихся чисел всегда найдется число, которое является суммой 30 остальных чисел.

Таким образом, мы можем записать неравенство:

\[k + 30 \leq 465\]

Из этого неравенства можно выразить максимальное значение k:

\[k \leq 435\]

Таким образом, максимальное значение k, которое можно выбрать, равно 435, чтобы гарантировать нахождение 31 числа, которое является суммой 30 остальных чисел, при условии, что мы выбираем числа от 1 до k.

Надеюсь, это решение понятно для вас! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.